Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Se considera la función $f(x)={\displaystyle \frac{x-4}{1-x}}$.

a) Calcule el dominio de la función $f$ y sus asíntotas. [1 punto]

b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de $f$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se trata de una función racional, de modo que el dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$1-x=0\Rightarrow x=1\Rightarrow \mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{1\}$

Asíntotas verticales. La única candidata es el punto que se ha quitado del dominio, y lo es porque el numerador no se anula en él.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{x-4}{1-x}}={\displaystyle \frac{-3}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{x-4}{1-x}}={\displaystyle \frac{-3}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }$

$x=1\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Asíntotas horizontales. Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x-4}{1-x}}={\displaystyle \frac{1}{-1}}=-1$

$y=-1\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Al existir asíntota horizontal en las dos ramas, no puede haber asíntota oblicua.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existan,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Los extremos relativos se buscan entre los puntos que anulan la primera derivada, y los de inflexión entre los que anulan la segunda. Derivamos aplicando la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot (1-x)-(x-4)\cdot (-1)}{(1-x{)}^2}}={\displaystyle \frac{1-x+x-4}{(1-x{)}^2}}={\displaystyle \frac{-3}{(1-x{)}^2}}$

El numerador es la constante $-3$ y el denominador es un cuadrado, siempre positivo en el dominio, de modo que $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ para todo $x\mathrm{\ne }1$. La derivada no se anula nunca y la función no tiene máximos ni mínimos relativos.

$f\text{ es decreciente en }(-\mathrm{\infty },1)\text{ y en }(1,+\mathrm{\infty })$

Derivamos otra vez, escribiendo antes $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3(1-x{)}^{-2}$:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-3\cdot (-2)(1-x{)}^{-3}\cdot (-1)={\displaystyle \frac{-6}{(1-x{)}^3}}$

Tampoco esta se anula nunca, así que la función no tiene puntos de inflexión. Su signo sí cambia al pasar por $x=1$, que no pertenece al dominio:

$x<1\Rightarrow (1-x{)}^3>0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{ es c}\acute{\text{o}}\text{ncava}$

$x>1\Rightarrow (1-x{)}^3<0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es convexa}$

No hay extremos relativos ni puntos de inflexión: la función decrece en todo su dominio.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Utilizando}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{apartados}}\mathbf{\text{anteriores,}}\mathbf{\text{realice}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esbozo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para situar la curva añadimos los cortes con los ejes a lo obtenido en los dos apartados anteriores.

$y=0\Rightarrow x-4=0\Rightarrow x=4\Rightarrow (4,0)$

$x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{-4}{1}}=-4\Rightarrow (0,-4)$

La gráfica es una hipérbola de centro $(1,-1)$: basta escribir $f(x)=-1+\frac{3}{x-1}$ para verlo. La rama de la izquierda baja desde la asíntota horizontal hasta $-\mathrm{\infty }$ y la de la derecha desciende desde $+\mathrm{\infty }$ hasta la asíntota, de acuerdo con que la función decrece en los dos intervalos.