Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2024

Sea $x\in \mathbb{R}$ y la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& -2\\ -2& -3& 0\\ 1& 2& x\end{array}\right)$.

a) Dé el $\mathrm{rg}(A)$ según los valores de $x$. Para $x=1$, compruebe que existe $A^{-1}$ y calcúlela. [1,5 puntos]

b) Tome $x=1$. Supongamos que $B$ es una matriz $3\times 3$ con $\det (B)=5$. Calcule $\det (AB)$. Razone cuál debe ser el valor de $\det \left({\displaystyle \frac{1}{5}}AB\right)$. [1 punto]

El rango de una matriz cuadrada de orden 3 es 3 exactamente cuando su determinante no se anula, así que empezamos calculándolo. Lo desarrollamos por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-1& -2& -2\\ -2& -3& 0\\ 1& 2& x\end{array}\mid =-1\mid \begin{array}{cc}-3& 0\\ 2& x\end{array}\mid +2\mid \begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& x\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}-2& -3\\ 1& 2\end{array}\mid$

$=-1(-3x)+2(-2x)-2(-4+3)=3x-4x+2=2-x$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 2-x=0\Rightarrow x=2$

Si $x\mathrm{\ne }2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{rg}(A)=3$.

Si $x=2$, el determinante se anula, pero el menor formado por las dos primeras filas y columnas no:

$\mid \begin{array}{cc}-1& -2\\ -2& -3\end{array}\mid =3-4=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Para $x=1$ se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2-1=1\mathrm{\ne }0$, luego la matriz es regular y existe $A^{-1}$. La calculamos con la fórmula de la matriz adjunta de la traspuesta.

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& -2\\ -2& -3& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right),A^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 1\\ -2& -3& 2\\ -2& 0& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(A^t)={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{ccc}-3& -2& -6\\ 2& 1& 4\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& -2\\ -2& -3& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-3& -2& -6\\ 2& 1& 4\\ -1& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

El rango de $A$ es 3 salvo para $x=2$, en cuyo caso vale 2, y para $x=1$ la inversa es la matriz obtenida.



El determinante de un producto de matrices cuadradas del mismo orden es el producto de los determinantes, y en el apartado anterior obtuvimos $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1$ para $x=1$.

$\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)=1\cdot 5=5$

Para la segunda parte hay que recordar que multiplicar una matriz por un número multiplica todas y cada una de sus filas por ese número, y que sacar un factor común de una fila multiplica el determinante por él. Con tres filas el factor sale tres veces:

$\det (kM)=k^n\det (M)\text{para }M\text{ de orden }n$

Aplicándolo con $k={\displaystyle \frac{1}{5}}$ y $n=3$:

$\det \left({\displaystyle \frac{1}{5}}AB\right)={\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^3\det (AB)={\displaystyle \frac{1}{125}}\cdot 5={\displaystyle \frac{1}{25}}$

El determinante de $AB$ vale 5 y el de $\frac{1}{5}AB$ vale $\frac{1}{25}$, que es 0,04.