Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2023

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -3& -5\end{array}\right)$.

a) Calcule todas las matrices $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ tales que $A\cdot X=2X$. [1,25 puntos]

b) Calcule todas las matrices $M$ que cumplen $M(B+I)=2I$, donde $I$ es la matriz identidad $2\times 2$. [1,25 puntos]

La igualdad no es un sistema con término independiente hasta que se pasa todo a un miembro. Como $2X=2I\cdot X$, se puede sacar factor común $X$ por la derecha.

$A\cdot X=2X\Rightarrow A\cdot X-2I\cdot X=0\Rightarrow (A-2I)\cdot X=0$

$A-2I=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$

Queda un sistema homogéneo, que siempre es compatible. La segunda ecuación es la trivial $0=0$, así que solo quedan dos ecuaciones con tres incógnitas.

$\{\begin{array}{l}-x+y+z=0\\ x+y-z=0\end{array}$

Sumando las dos ecuaciones desaparecen $x$ y $z$:

$2y=0\Rightarrow y=0\Rightarrow -x+z=0\Rightarrow z=x$

El rango de la matriz de coeficientes es 2 y hay tres incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Tomamos como parámetro la incógnita que queda libre:

$x=\lambda \Rightarrow X=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 0\\ \lambda \end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\lambda \in \mathbb{R}$

Las matrices pedidas son todas las de la forma $X=\lambda (1,0,1{)}^t$, es decir, los múltiplos de $(1,0,1{)}^t$.



La incógnita está multiplicada por la izquierda, así que despejaremos multiplicando por la inversa de $B+I$ también por la derecha. Antes hay que comprobar que esa inversa existe.

$B+I=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -3& -5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ -3& -4\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }B+I\mathrm{\mid }=5\cdot (-4)-6\cdot (-3)=-20+18=-2\mathrm{\ne }0$

$(B+I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{cc}-4& -6\\ 3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -\frac{3}{2}& -\frac{5}{2}\end{array}\right)$

$M(B+I)=2I\Rightarrow M(B+I)(B+I{)}^{-1}=2I(B+I{)}^{-1}\Rightarrow M=2(B+I{)}^{-1}$

$M=2\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -\frac{3}{2}& -\frac{5}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -3& -5\end{array}\right)$

La única matriz que cumple la ecuación es $M=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -3& -5\end{array}\right)$, que resulta ser la propia $B$: al ser $B+I$ invertible, la solución es única.