Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2024

Sea $x\in \mathbb{R}$ y las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 3\\ 2& 0& x\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

a) Decida de forma razonada si se pueden realizar las operaciones siguientes $CAB$ y $BAC$. ¿Cuál sería la dimensión de la matriz resultante si pudiese realizarse? [0,75 puntos]

b) Calcule según los valores de $x$ el rango de $A$. Para $x=0$, compruebe que existe $A^{-1}$ y calcúlela. [1,75 puntos]

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, y el resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda. Empezamos anotando las dimensiones.

$A_{3\times 3},B_{1\times 3},C_{3\times 1}$

Para $C\cdot A$ habría que multiplicar una matriz de 1 columna por otra de 3 filas:

$C_{3\times 1}\cdot A_{3\times 3}:1\mathrm{\ne }3\Rightarrow \text{no se puede}$

Al fallar ya el primer producto, la operación $CAB$ no se puede realizar.

Para $BAC$ se encadenan bien las tres dimensiones:

$B_{1\times 3}\cdot A_{3\times 3}=(BA{)}_{1\times 3}$

$(BA{)}_{1\times 3}\cdot C_{3\times 1}=(BAC{)}_{1\times 1}$

El producto $CAB$ no se puede efectuar y $BAC$ sí, dando una matriz de dimensión $1\times 1$, es decir, un número.



El rango vale 3 mientras el determinante no se anule, así que lo calculamos primero. Lo desarrollamos por la segunda columna, que tiene dos ceros.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 3\\ 2& 0& x\end{array}\mid =-2\mid \begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& x\end{array}\mid =-2(-x-6)=2x+12$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 2x+12=0\Rightarrow x=-6$

Si $x\mathrm{\ne }-6$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{rg}(A)=3$.

Si $x=-6$, el determinante se anula, pero queda un menor de orden 2 no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 0\end{array}\mid =0+2=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Para $x=0$ resulta $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=12\mathrm{\ne }0$, de modo que la matriz es regular y su inversa existe. La calculamos con la adjunta de la traspuesta.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 3\\ 2& 0& 0\end{array}\right),A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& 0& 0\\ 3& 3& 0\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(A^t)={\displaystyle \frac{1}{12}}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 6& -6& -6\\ 0& 4& 2\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{12}}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 3\\ 2& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 6& -6& -6\\ 0& 4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

El rango de $A$ es 3 salvo para $x=-6$, donde vale 2, y para $x=0$ la inversa es la matriz obtenida.