Examen de Matemáticas II de Asturias 2026 (convocatoria ordinaria)

Un cliente de una cafetería compra 1 café, 2 tés y 2 zumos y paga 11 euros. Al día siguiente compra 1 café, 3 tés y 3 zumos y paga 16 euros. El tercer día compra 3 cafés, 3 tés y los zumos que pueda pagar con 21 euros exactos (no deben darle vuelta). Se pide:

a) Encuentre un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema de calcular el precio de cada producto en función del número $p$ de zumos que le den el tercer día. Discuta el sistema obtenido en función del número de zumos pagados el último día. [1,5 puntos]

b) El camarero del tercer día le dice «Por ese dinero te daré dos zumos» y el cliente responde «Eso es imposible, el precio está mal calculado». ¿Quién tiene razón? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

c) El camarero le contesta que, en efecto, tiene razón: en realidad le tiene que dar 4 zumos, y el cliente queda satisfecho. ¿A qué precio le ha cobrado cada bebida? [0,5 puntos]

Para cada $a\in \mathbb{R}$ se considera la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& -2\\ 0& 3& -4\\ a& 2& -3\end{array}\right)$. Se pide:

a) Calcule todos los valores de $a\in \mathbb{R}$ que hacen que $A^2=I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]

b) Si una matriz $B$ de tamaño $3\times 3$ verifica que $B^2=2I$, ¿qué valores puede tomar $\det (B)$? [0,5 puntos]

c) Calcule el rango y el determinante de la matriz $A$ para cada valor de $a\in \mathbb{R}$. [1 punto]

Una empresa inicia su cotización en bolsa, con un precio de 5 euros la acción. A partir de ahí, el precio de cada acción se modelizó en función del tiempo pasado en bolsa desde ese momento inicial y durante el primer mes. Se obtuvo la siguiente función $f(t)={\displaystyle \frac{5t^2+2t+5}{t^2+1}}$, con $t\in [0,30]$.

a) Si la empresa necesita que el valor de cada acción llegue a $\mathrm{6,5}$ euros para que se alcancen los objetivos previstos, ¿se alcanzan en el intervalo estudiado? [1 punto]

b) Estudie los intervalos en los que el precio de cada acción sube y los intervalos donde baja. [0,75 puntos]

c) ¿Cuál sería el valor de la acción si esta función modelizase el valor de las acciones a lo largo de toda la vida de la empresa? [0,75 puntos]

Se considera la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-Ax+11& \text{si }x<2\\ \sqrt{5x-1}& \text{si }x\ge 2\end{array}$. Se pide:

a) Calcule el valor de $A$ para el que $f$ es una función continua. [0,75 puntos]

b) Si $A=6$, estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. [1,25 puntos]

c) Para $A=6$, ¿es $x=2$ un extremo relativo de la función? ¿De qué tipo? [0,5 puntos]

Se sabe que la función $F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}{x}^2\right)$ es una primitiva de $f$. Se pide:

a) Calcule la función $f$. [1 punto]

b) Calcule una función que sea una primitiva de $f$ y tal que en $x=0$ tome el valor 6. [0,75 puntos]

c) Calcule el área del recinto encerrado por la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x=0$ y $x=1$. [0,75 puntos]

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x-2}{x^2+1}}$, se pide:

a) Calcule una primitiva de la función $f$. [1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto acotado encerrado por la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x=0$ y $x=1$. [1,25 puntos]

Se considera el plano $\pi \equiv x+2y+3z=6$ y el punto $P(0,-1,-2)$. Se pide:

a) Encuentre la ecuación de una recta paralela a $\pi$ y que contenga al punto $P$. ¿Es única esa recta? [1,25 puntos]

b) Calcule el punto $Q\in \pi$ que menos dista de $P$. ¿Qué distancia hay entre $P$ y $Q$? [1,25 puntos]

Un móvil se desplaza en línea recta desde el punto $P(2,1,3)$ hacia el punto $Q(0,-1,1)$. Cuando llega a la mitad de la distancia de $P$ a $Q$ da un giro y se desplaza por la recta que pasa por $H(1,1,1)$.

a) Calcule las coordenadas del punto en el que se realiza el giro. [0,5 puntos]

b) Calcule la recta por la que se desplaza el móvil tras realizar el giro. [0,75 puntos]

c) Calcule el ángulo de giro del móvil. [0,75 puntos]

En una industria textil se fabrican pantalones vaqueros. Se observa que se pueden producir dos tipos de defectos en la producción, en la longitud y en las costuras. Se hace un estudio y se detecta que el 10 % de los pantalones suspenden el test de longitud, mientras que no pasan el test de las costuras el 5 %. Además, un 0,8 % de las prendas suspenden ambos test. Se pide:

a) Calcule la probabilidad de que una prenda seleccionada al azar suspenda al menos uno de los test. [1,25 puntos]

b) Si una prenda seleccionada al azar ha suspendido el test de longitud, ¿qué probabilidad hay de que también suspenda el test de costuras? [1,25 puntos]

Una grúa debe levantar una serie de cajas. Cuando el brazo de la grúa intenta levantar más de 40 kg el sistema de seguridad se activa y la grúa no puede continuar. Supongamos que el peso de las cajas sigue una distribución $N(38;\mathrm{1,2})$.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de seguridad se active al intentar levantar una caja? [1,25 puntos]

b) Se realiza el levantamiento de 10 cajas, una detrás de otra. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema salte al menos una vez? [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$, con $F(x)=P(Z\le x)$, son: $F(0)=\mathrm{0,5}$; $F(\mathrm{1,6667})=\mathrm{0,9520}$; $F(\mathrm{0,9520})=\mathrm{0,83}$; $F(\mathrm{0,83})=\mathrm{0,7975}$; $F(\mathrm{0,79})=\mathrm{0,7852}$. Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.