Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

En una industria textil se fabrican pantalones vaqueros. Se observa que se pueden producir dos tipos de defectos en la producción, en la longitud y en las costuras. Se hace un estudio y se detecta que el 10 % de los pantalones suspenden el test de longitud, mientras que no pasan el test de las costuras el 5 %. Además, un 0,8 % de las prendas suspenden ambos test. Se pide:

a) Calcule la probabilidad de que una prenda seleccionada al azar suspenda al menos uno de los test. [1,25 puntos]

b) Si una prenda seleccionada al azar ha suspendido el test de longitud, ¿qué probabilidad hay de que también suspenda el test de costuras? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{prenda}}\mathbf{\text{seleccionada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{suspenda}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{test.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Se nombran los sucesos $L=$ «suspende el test de longitud» y $C=$ «suspende el test de costuras». Los datos son

$P(L)=\mathrm{0,10}P(C)=\mathrm{0,05}P(L\cap C)=\mathrm{0,008}$

y «suspender al menos uno» es la unión de los dos sucesos.





$P(L\cup C)=P(L)+P(C)-P(L\cap C)=\mathrm{0,10}+\mathrm{0,05}-\mathrm{0,008}$

$P(L\cup C)=\mathrm{0,142}$

La probabilidad de que una prenda suspenda al menos uno de los dos test es $\mathrm{0,142}$, un 14,2 %. Restar la intersección es imprescindible: las prendas que fallan en las dos cosas se habrían contado dos veces.

En la figura aparecen las cuatro regiones: suspenden solo longitud $\mathrm{0,10}-\mathrm{0,008}=\mathrm{0,092}$, solo costuras $\mathrm{0,05}-\mathrm{0,008}=\mathrm{0,042}$, ambas $\mathrm{0,008}$ y ninguna $1-\mathrm{0,142}=\mathrm{0,858}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{prenda}}\mathbf{\text{seleccionada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{suspendido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{suspenda}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{costuras?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide una probabilidad condicionada, la de $C$ sabiendo que ha ocurrido $L$:

$P(C\mathrm{\mid }L)=\frac{P(C\cap L)}{P(L)}=\frac{\mathrm{0,008}}{\mathrm{0,10}}$

$P(C\mathrm{\mid }L)=\mathrm{0,08}$

Sabiendo que una prenda ha suspendido el test de longitud, la probabilidad de que también falle en las costuras es de $\mathrm{0,08}$, un 8 %.

Merece la pena comparar ese 8 % con el 5 % de partida: el hecho de haber fallado en longitud eleva la probabilidad de fallar también en costuras, luego los dos defectos no son independientes. Formalmente, $P(L)\cdot P(C)=\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,05}=\mathrm{0,005}\mathrm{\ne }\mathrm{0,008}=P(L\cap C)$.