Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

Una jugadora de tenis de mesa comienza los partidos restando en el 75 % de las ocasiones. Cuando comienza restando, la jugadora vence el 80 % de los partidos. Sin embargo, cuando comienza sacando, ese porcentaje se reduce hasta el 65 % de victorias.

a) Calcule la probabilidad de que la jugadora gane un partido si no sabemos si ha comenzado restando o no. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que la jugadora haya empezado restando en un partido sabiendo que ha ganado. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{jugadora}}\mathbf{\text{gane}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{partido}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{comenzado}}\mathbf{\text{restando}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se nombran los sucesos $R=$ «empieza restando», $\bar{R}=$ «empieza sacando» y $G=$ «gana el partido». Los datos del enunciado son

$P(R)=\mathrm{0,75}P(\bar{R})=\mathrm{0,25}P(G\mathrm{\mid }R)=\mathrm{0,80}P(G\mathrm{\mid }\bar{R})=\mathrm{0,65}$

y se organizan en un árbol:



Como $R$ y $\bar{R}$ forman un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total sumando los dos caminos del árbol que terminan en $G$:

$P(G)=P(R)P(G\mathrm{\mid }R)+P(\bar{R})P(G\mathrm{\mid }\bar{R})$

$P(G)=\mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,80}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,65}=\mathrm{0,60}+\mathrm{0,1625}$

$P(G)=\mathrm{0,7625}$

La jugadora gana el $\mathrm{76,25}\mathrm{\%}$ de sus partidos. El valor queda entre el 65 % y el 80 % de los dos escenarios, y más cerca del segundo porque empieza restando tres de cada cuatro veces.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{jugadora}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{empezado}}\mathbf{\text{restando}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{partido}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{ganado.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora se conoce el resultado y se pregunta por la causa, de modo que es una probabilidad a posteriori: el teorema de Bayes.

$P(R\mathrm{\mid }G)=\frac{P(R\cap G)}{P(G)}=\frac{P(R)P(G\mathrm{\mid }R)}{P(G)}=\frac{\mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,80}}{\mathrm{0,7625}}$

$P(R\mathrm{\mid }G)=\frac{\mathrm{0,60}}{\mathrm{0,7625}}=\mathrm{0,7869}$

Sabiendo que ha ganado, la probabilidad de que empezara restando es $\mathrm{0,7869}$, un 78,7 %.

Es ligeramente mayor que el 75 % de partida, y tiene sentido: como gana más partidos cuando resta, el hecho de haber ganado es un indicio —débil, pero indicio— de que ese partido lo empezó restando.