Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x-2}{x^2+1}}$, se pide:

a) Calcule una primitiva de la función $f$. [1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto acotado encerrado por la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x=0$ y $x=1$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es un cociente cuyo denominador tiene derivada $2x$, así que conviene separarla en dos sumandos: uno de tipo logarítmico y otro de tipo arcotangente.

$\int \frac{x-2}{x^2+1}dx=\int \frac{x}{x^2+1}dx-2\int \frac{1}{x^2+1}dx$

La primera se ajusta multiplicando y dividiendo por 2 para que arriba aparezca la derivada del denominador; la segunda es inmediata:

$\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$

$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}(x)$

De modo que una primitiva es

$F(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-2\mathrm{arctg}(x)$

(no hace falta valor absoluto en el logaritmo: $x^2+1>0$ siempre). Puede comprobarse derivando: $F^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x}{x^2+1}-\frac{2}{x^2+1}=\frac{x-2}{x^2+1}=f(x)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{acotado}}\mathbf{\text{encerrado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$










En $[0,1]$ el denominador es positivo y el numerador $x-2$ es negativo, porque $x\le 1<2$. La función es negativa en todo el intervalo, así que la gráfica va por debajo del eje $X$ y el área es la integral cambiada de signo.





$\acute{\text{A}}\text{rea}=-{\int }_0^1\frac{x-2}{x^2+1}dx=-[F(x){]}_0^1$

$F(1)=\frac{1}{2}\ln 2-2\mathrm{arctg}(1)=\frac{1}{2}\ln 2-2\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\ln 2}{2}-\frac{\pi }{2}$

$F(0)=\frac{1}{2}\ln 1-2\mathrm{arctg}(0)=0$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=-(\frac{\ln 2}{2}-\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}-\frac{\ln 2}{2}$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=\frac{\pi -\ln 2}{2}\approx \mathrm{1,22}{\text{u}}^2$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{\pi -\ln 2}{2}}\approx \mathrm{1,22}$ unidades cuadradas. El signo final es el esperado: un área siempre sale positiva, y aquí lo garantiza haber puesto el menos delante de una integral que valía $-\mathrm{1,22}$.