Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Un cliente de una cafetería compra 1 café, 2 tés y 2 zumos y paga 11 euros. Al día siguiente compra 1 café, 3 tés y 3 zumos y paga 16 euros. El tercer día compra 3 cafés, 3 tés y los zumos que pueda pagar con 21 euros exactos (no deben darle vuelta). Se pide:

a) Encuentre un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema de calcular el precio de cada producto en función del número $p$ de zumos que le den el tercer día. Discuta el sistema obtenido en función del número de zumos pagados el último día. [1,5 puntos]

b) El camarero del tercer día le dice «Por ese dinero te daré dos zumos» y el cliente responde «Eso es imposible, el precio está mal calculado». ¿Quién tiene razón? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

c) El camarero le contesta que, en efecto, tiene razón: en realidad le tiene que dar 4 zumos, y el cliente queda satisfecho. ¿A qué precio le ha cobrado cada bebida? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{modelice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{p}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{zumos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{den}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{zumos}}\mathbf{\text{pagados}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{ltimo}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $c$ al precio del café, $t$ al del té y $z$ al del zumo, los tres en euros. Cada día de compra da una ecuación:

$\{\begin{array}{rcrcrcl}c& +& 2t& +& 2z& =& 11\\ c& +& 3t& +& 3z& =& 16\\ 3c& +& 3t& +& pz& =& 21\end{array}$

La matriz de coeficientes y la ampliada son

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 1& 3& 3\\ 3& 3& p\end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 11\\ 1& 3& 3& 16\\ 3& 3& p& 21\end{array}\right)$

Se discute con el determinante de $A$:

$\det (A)=1(3p-9)-2(p-9)+2(3-9)=3p-9-2p+18-12=p-3$

$\mathbf{\text{Si}}p\mathrm{\ne }3$: $\det (A)\mathrm{\ne }0$, luego $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es compatible determinado: hay una única solución.

$\mathbf{\text{Si}}p=3$: $\det (A)=0$, y como el menor $\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$, se tiene $\mathrm{rg}(A)=2$. En la ampliada, la tercera ecuación pasa a ser $3c+3t+3z=21$, es decir, $c+t+z=7$; pero restando las dos primeras se obtiene $t+z=5$ y de la primera $c=11-2(t+z)=1$, de donde $c+t+z=6\mathrm{\ne }7$. La ampliada tiene rango 3 y el sistema es incompatible: no tiene solución.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{camarero}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{dice}}\mathbf{\text{«Por}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{dinero}}\mathbf{\text{te}}\mathbf{\text{dar}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{zumos»}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{responde}}\mathbf{\text{«Eso}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{imposible,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mal}}\mathbf{\text{calculado».}}\mathbf{\text{¿Qui}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{raz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Conviene resolver el sistema en general antes de sustituir. Restando la primera ecuación de la segunda:

$t+z=5$

y llevándolo a la primera, $c+2(t+z)=11$, resulta $c=1$: el café cuesta 1 € sea cual sea $p$. Sustituyendo $c=1$ y $t=5-z$ en la tercera ecuación:

$3+3(5-z)+pz=21\Rightarrow 18-3z+pz=21\Rightarrow z(p-3)=3$

$z={\displaystyle \frac{3}{p-3}}t=5-zc=1$

Con $p=2$ el sistema es compatible determinado, pero da

$z=\frac{3}{2-3}=-3\text{ €}t=5-(-3)=8\text{ €}c=1\text{ €}$

Los tres valores satisfacen las tres ecuaciones —$3+24-6=21$—, pero el zumo saldría a $-3$ €, es decir, el camarero tendría que pagar al cliente por cada zumo. Como un precio negativo no tiene sentido, la razón la tiene el cliente: por 21 € no le pueden dar dos zumos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{camarero}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{contesta}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{efecto,}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{raz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n:}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{realidad}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dar}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{zumos,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{queda}}\mathbf{\text{satisfecho.}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{cobrado}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{bebida?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se sustituye $p=4$ en las fórmulas del apartado anterior:

$z=\frac{3}{4-3}=3\text{ €}t=5-3=2\text{ €}c=1\text{ €}$

El café cuesta $1$ €, el té $2$ € y el zumo $3$ €. Se comprueban las tres compras:

$1+2\cdot 2+2\cdot 3=11\mathrm{✓}1+3\cdot 2+3\cdot 3=16\mathrm{✓}3\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 3=21\mathrm{✓}$