Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Se sabe que la función $F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}{x}^2\right)$ es una primitiva de $f$. Se pide:

a) Calcule la función $f$. [1 punto]

b) Calcule una función que sea una primitiva de $f$ y tal que en $x=0$ tome el valor 6. [0,75 puntos]

c) Calcule el área del recinto encerrado por la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x=0$ y $x=1$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Que $F$ sea una primitiva de $f$ significa exactamente que $F^{\mathrm{\prime }}=f$, así que basta derivar aplicando la regla de la cadena:

$F(x)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}{x}^2\right)$

$f(x)=F^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}{x}^2\right)\cdot \frac{\pi }{2}\cdot 2x$

$f(x)=\frac{\pi }{2}x\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}{x}^2\right)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tal}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{tome}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{6.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Todas las primitivas de $f$ se diferencian de $F$ en una constante:

$G(x)=F(x)+C=\frac{1}{2}\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}{x}^2\right)+C$

Se impone la condición pedida:

$G(0)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(0)+C=C=6$

$G(x)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}{x}^2\right)+6$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{encerrado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Antes de integrar hay que ver el signo de $f$ en $[0,1]$. Allí $x\ge 0$ y el argumento del coseno recorre $[0,\frac{\pi }{2}]$, donde el coseno es no negativo. El producto es, por tanto, mayor o igual que cero: la gráfica no cruza el eje y el área coincide con la integral.





$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_0^{1}f(x)dx=[F(x){]}_0^1=F(1)-F(0)$

$F(1)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}F(0)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(0)=0$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}{\text{u}}^2$

El área vale $\frac{1}{2}$ unidades cuadradas. Nótese lo cómodo del enunciado: como ya se conocía una primitiva, la regla de Barrow resuelve la integral sin necesidad de hacer el cambio de variable $u=\frac{\pi }{2}{x}^2$ que habría hecho falta de partir de $f$.