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Examen de Matemáticas II de Asturias 2025 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Asturias, convocatoria extraordinaria de 2025. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Dado a∈R, se considera la matriz A=(1−1a−322−542).

a) Encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema de ecuaciones homogéneo AX=[0] tiene infinitas soluciones. ¿Existe algún valor de a para el cual el sistema no tenga solución? Razone sus respuestas. [0,75 puntos]

b) Suponiendo que A es la matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, calcule los valores de a para los cuales el sistema tiene solución. [0,75 puntos]

c) Resuelva el sistema homogéneo del apartado a) para el valor a=0. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Una matriz M verifica que det⁡(M)=x. Los apartados siguientes son independientes. Se pide:

a) Supongamos que la matriz M tiene 2 filas y 2 columnas, y que M2=(x−1)I, siendo I la matriz identidad. Calcule todos los valores de x∈R. [1 punto]

b) Supongamos ahora que la matriz M tiene 3 filas y 3 columnas. Estudie si existe algún valor de x para el que pueda ser M=(2110−1x−1−10). [0,75 puntos]

c) Supongamos ahora que el tamaño de M es 3×3, que x≠0 y que M=xM2. Calcule los posibles valores de x y det⁡(M−1) para cada uno de ellos. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Derivadas

Un depósito tiene una tubería de entrada de agua y un grifo. Se estudia la cantidad de agua del depósito en cada instante t a lo largo de 4 horas, teniendo en cuenta que en ocasiones se descarga por la apertura del grifo. Se observa que la cantidad de agua viene dada por la función f(t)=2cos⁡(t+π/2)+10, donde t∈[0,4]. Se pide:

a) Calcule los máximos y mínimos de la función. [1 punto]

b) Demuestre que el depósito no se vacía nunca. [0,75 puntos]

c) Deduzca durante cuánto tiempo el depósito está aumentando el volumen de agua durante esas 4 horas. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Optimización

Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado x y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados x e y, como en la figura. Si se quiere utilizar 3 m2 de material, calcule los valores de x e y para que la capacidad de la caja sea máxima. [2,5 puntos]

Figura del ejercicio

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Integrales y Áreas

Dada la función f(x)=xx2+1, se pide:

a) Calcule una primitiva de la función f que en 0 valga 1. [1,25 puntos]

b) Calcule el área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las rectas x=−1 y x=1. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Integrales y Áreas

Se sabe que la función G(x)=13x3+ax2+bx+5 es una primitiva de una función g, donde a,b∈R son valores desconocidos, pero constantes. Se pide:

a) Determine la función g(x) en función de los parámetros a y b. [1 punto]

b) ¿Podría dar la forma de todas las primitivas de g en función de una constante K? [0,5 puntos]

c) Sabiendo que g(1)=2 y g(0)=1, determine la función g. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Rectas y Planos

Se consideran los puntos A(1,1,1) y B(−1,1,3). Se pide:

a) Encuentre la ecuación del plano π que pasa por el punto medio de A y B y es perpendicular a la recta que los contiene. [1 punto]

b) Calcule las distancias de A y B al plano π. [1 punto]

c) Tome un punto cualquiera del plano π distinto del calculado en el apartado a). Calcule su distancia a A y a B y compruebe que es la misma. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Se considera la recta r≡{x+y+z=22x−y+z=0 y el plano π≡2x+y+βz=3. Se pide:

a) Calcule, en caso de que exista, el valor de β∈R que hace que r y π sean paralelos. [0,75 puntos]

b) Calcule, en caso de que exista, el valor de β para que el plano y la recta sean perpendiculares. [0,75 puntos]

c) Para β=0, calcule el simétrico del punto (−1,0,1) respecto del plano π. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Probabilidad

Supongamos que tenemos en un monedero 5 monedas de 1 euro, 3 de 2 euros y 2 de 10 céntimos.

a) Si sacamos 3 monedas al azar del monedero, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea de 1 euro? [1,25 puntos]

b) Sacamos dos monedas una tras otra (sin reemplazamiento). ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda sea de 10 céntimos? [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

La esperanza de vida de un elefante sigue una distribución normal de media 82 años y desviación típica 30.

a) ¿Qué porcentaje de población de elefantes se espera que viva más de 100 años? [0,75 puntos]

b) Si se toma una muestra de 4 elefantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno supere los 100 años de vida? [0,75 puntos]

c) Calcule un valor a∈R que haga que el 98 % de los elefantes tengan una esperanza de vida menor o igual que 82+a. [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución N(0,1), con F(x)=P(Z≤x), son: F(0)=0,5; F(0,15)=0,6; F(0,6)=0,7257; F(2,06)=0,98; F(0,98)=0,8365. Si los valores obtenidos no están entre los expuestos debe tomarse el más cercano.

Ver la solución del ejercicio 10

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