Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Se sabe que la función $G(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+a{x}^2+bx+5$ es una primitiva de una función $g$, donde $a,b\in \mathbb{R}$ son valores desconocidos, pero constantes. Se pide:

a) Determine la función $g(x)$ en función de los parámetros $a$ y $b$. [1 punto]

b) ¿Podría dar la forma de todas las primitivas de $g$ en función de una constante $K$? [0,5 puntos]

c) Sabiendo que $g(1)=2$ y $g(0)=1$, determine la función $g$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{g(x)}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{b.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Que $G$ sea una primitiva de $g$ significa $G^{\mathrm{\prime }}=g$, así que basta derivar:

$G(x)=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+bx+5$

$g(x)=G^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2+2ax+b$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{primitivas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{g}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{K?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sí. Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante, de modo que todas las primitivas de $g$ se obtienen sumando una constante a la que ya se conoce:

$\int g(x)dx=G(x)+K=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+bx+5+K$

y como $5+K$ es de nuevo una constante arbitraria, la familia puede escribirse igualmente

$\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+bx+K$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{g(1)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{g(0)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{g.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se sustituyen los dos datos en la expresión de $g$ obtenida en el apartado a):

$g(0)=0+0+b=b=1$

$g(1)=1+2a+b=2$

Sustituyendo $b=1$ en la segunda:

$1+2a+1=2\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0$

$g(x)=x^2+1$

La función es $g(x)=x^2+1$, y la primitiva de partida resulta ser $G(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x+5$. Se comprueba: $G^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2+1$, $g(0)=1$ y $g(1)=2$.