Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^4-6x^3+e^x\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}$, que tiene la siguiente representación gráfica:



a) Calcule los límites de la función en los extremos de su dominio. [1 punto]

b) Calcule el área comprendida entre $f(x)$, $y=-1$, $x=2$ y $x=4$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mites}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Antes de nada conviene simplificar la expresión, porque la raíz del denominador divide a los tres sumandos del numerador.

$f(x)={\displaystyle \frac{x^4-6x^3+e^x\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{x^4}{\sqrt{x}}}-{\displaystyle \frac{6x^3}{\sqrt{x}}}+e^x$

$f(x)=x^{7\mathrm{/}2}-6x^{5\mathrm{/}2}+e^x$

El dominio lo impone la raíz del denominador, que exige radicando no negativo y denominador no nulo, de modo que los extremos del dominio son $0$ y $+\mathrm{\infty }$.

$\text{Dom}(f)=(0,+\mathrm{\infty })$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^{7\mathrm{/}2}-6x^{5\mathrm{/}2}+e^x)=0-0+1=1$

Para el otro extremo se saca factor común la potencia dominante de la parte polinómica y se compara con la exponencial.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x^{5\mathrm{/}2}(x-6)+e^x)=+\mathrm{\infty }$

La función tiende a 1 cuando $x$ se acerca a cero por la derecha —valor que no llega a alcanzar, porque el 0 no pertenece al dominio— y crece sin cota cuando $x$ tiende a infinito, empujada por la exponencial.



Primero se decide qué curva queda por encima en el intervalo. Como la gráfica del enunciado ya muestra, en todo $[2,4]$ la función va por debajo de la recta, y se comprueba en los extremos.

$f(2)=2^{7\mathrm{/}2}-6\cdot 2^{5\mathrm{/}2}+e^2\approx -\mathrm{15,24}$

$f(4)=4^{7\mathrm{/}2}-6\cdot 4^{5\mathrm{/}2}+e^4=128-192+e^4\approx -\mathrm{9,40}$

Los dos valores son menores que $-1$ y la función es continua en el intervalo, así que el área es la integral de la diferencia «recta menos curva».

$A={\int }_2^4(-1-f(x))dx={\int }_2^4(-1-x^{7\mathrm{/}2}+6x^{5\mathrm{/}2}-e^x)dx$

Se calcula una primitiva término a término, con la regla de la potencia y la de la exponencial.

$\int f(x)dx={\displaystyle \frac{2}{9}}{x}^{9\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{12}{7}}{x}^{7\mathrm{/}2}+e^x$

$A=[-x{]}_2^4-{[{\displaystyle \frac{2}{9}}{x}^{9\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{12}{7}}{x}^{7\mathrm{/}2}+e^x]}_2^4$

Se evalúa cada corchete por separado.

$[-x{]}_2^4=-4+2=-2$

${\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot 4^{9\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{12}{7}}\cdot 4^{7\mathrm{/}2}+e^4={\displaystyle \frac{1024}{9}}-{\displaystyle \frac{1536}{7}}+e^4\approx -\mathrm{51,05}$

${\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot 2^{9\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{12}{7}}\cdot 2^{7\mathrm{/}2}+e^2={\displaystyle \frac{32\sqrt{2}}{9}}-{\displaystyle \frac{96\sqrt{2}}{7}}+e^2\approx -\mathrm{6,98}$

${\int }_2^{4}f(x)dx\approx -\mathrm{51,05}-(-\mathrm{6,98})=-\mathrm{44,08}$

$A=-2-(-\mathrm{44,08})=\mathrm{42,08}$

El valor exacto es $A={\displaystyle \frac{6530-640\sqrt{2}}{63}}+e^2-e^4$, de modo que el recinto encerrado entre la curva, la recta $y=-1$ y las rectas verticales $x=2$ y $x=4$ mide aproximadamente 42,08 unidades de área.