Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A}}$

La vela mayor de un velero tiene forma semiparabólica y está delimitada por las gráficas de $f(x)=-x^2+25$, $y=0$ y $x=0$, tal como se indica en la figura siguiente:



La vela tiene dos partes separadas por la recta $y=9$. Para construirla, se emplea un tejido de nailon en la parte superior, que cuesta 50 €/u², y un tejido de poliéster en la parte inferior, que cuesta 70 €/u². Calcule el coste total del material que se necesita para construir esta vela. [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{construir}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{vela.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La vela ocupa el recinto del primer cuadrante limitado por la parábola $f(x)=-x^2+25$, el eje $OY$ y el eje $OX$, y la recta $y=9$ lo parte en dos. Como los dos tejidos tienen precios distintos, hay que calcular por separado el área de cada parte.

Primero localizamos los cortes que delimitan el recinto:

$f(x)=0\Rightarrow -x^2+25=0\Rightarrow x=5$

$f(x)=9\Rightarrow -x^2+25=9\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=4$

(en ambos casos se descarta la raíz negativa, porque el recinto está en $x\ge 0$).

La región superior está entre la parábola y la recta $y=9$, y solo existe mientras la parábola queda por encima, es decir, para $0\le x\le 4$.

$A_{\text{sup}}={\int }_0^4((-x^2+25)-9)dx={\int }_0^4(16-x^2)dx$

$A_{\text{sup}}={[16x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^4=64-{\displaystyle \frac{64}{3}}={\displaystyle \frac{128}{3}}$

La región inferior es un rectángulo de base $4$ y altura $9$ más el trozo que queda bajo la parábola entre $x=4$ y $x=5$.

$A_{\text{inf}}=9\cdot 4+{\int }_4^5(-x^2+25)dx=36+{[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+25x]}_4^5$

$A_{\text{inf}}=36+({\displaystyle \frac{250}{3}}-{\displaystyle \frac{236}{3}})=36+{\displaystyle \frac{14}{3}}={\displaystyle \frac{122}{3}}$

Como comprobación, la suma de las dos áreas es el recinto entero:

${\displaystyle \frac{128}{3}}+{\displaystyle \frac{122}{3}}={\displaystyle \frac{250}{3}}={\int }_0^5(-x^2+25)dx$

Ahora multiplicamos cada superficie por el precio de su tejido:

$C=50\cdot {\displaystyle \frac{128}{3}}+70\cdot {\displaystyle \frac{122}{3}}={\displaystyle \frac{6400}{3}}+{\displaystyle \frac{8540}{3}}={\displaystyle \frac{14940}{3}}=4980$

Se necesitan ${\displaystyle \frac{128}{3}}\approx \mathrm{42,67}$ unidades cuadradas de nailon y ${\displaystyle \frac{122}{3}}\approx \mathrm{40,67}$ de poliéster, de modo que el coste total del material de la vela es de 4 980 €.