Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Dadas las funciones $f(x)=8-8x$ y $g(x)=x^3-4x$

a) Calcule ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}dx}$ [1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $g(x)$ y el eje $X$. [1,25 puntos]

Es la integral de una función racional cuyo denominador tiene tres raíces reales simples, así que la descomponemos en fracciones simples.

$g(x)=x^3-4x=x(x-2)(x+2)$

${\displaystyle \frac{8-8x}{x(x-2)(x+2)}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{B}{x-2}}+{\displaystyle \frac{C}{x+2}}$

Multiplicando por el denominador común e igualando numeradores:

$8-8x=A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2)$

Damos a $x$ los valores de las raíces:

$x=0:8=-4A\Rightarrow A=-2$

$x=2:-8=8B\Rightarrow B=-1$

$x=-2:24=8C\Rightarrow C=3$

$\int {\displaystyle \frac{8-8x}{x^3-4x}}dx=\int ({\displaystyle \frac{-2}{x}}+{\displaystyle \frac{-1}{x-2}}+{\displaystyle \frac{3}{x+2}})dx$

$=-2\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+3\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C$

$\int {\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}dx=\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x+2{\mathrm{\mid }}^3}{x^2\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}}+C$



El recinto queda entre los cortes de la cúbica con el eje, que son las raíces ya factorizadas.

$x^3-4x=0\Rightarrow x(x-2)(x+2)=0\Rightarrow x=-2,x=0,x=2$

La función cambia de signo en $x=0$ —es positiva en $(-2,0)$ y negativa en $(0,2)$—, así que integramos por separado y sumamos los valores absolutos.

${\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^2]}_{-2}^0=0-(4-8)=4$

${\int }_0^2(x^3-4x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^2]}_0^2=4-8=-4$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }=8$

Los dos trozos tienen la misma área, como cabía esperar de una función impar. El área del recinto es de 8 unidades de superficie.