Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Dadas las funciones $f(x)=2$ y $g(x)=x^3+x^2-2x$

a) Calcule ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}dx}$ [1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $g(x)$ y el eje $X$. [1,25 puntos]

Es la integral de una función racional cuyo denominador tiene tres raíces reales simples, así que la descomponemos en fracciones simples.

$g(x)=x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=x(x+2)(x-1)$

${\displaystyle \frac{2}{x(x+2)(x-1)}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{B}{x+2}}+{\displaystyle \frac{C}{x-1}}$

$2=A(x+2)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+2)$

Damos a $x$ los valores de las raíces:

$x=0:2=-2A\Rightarrow A=-1$

$x=-2:2=6B\Rightarrow B={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$x=1:2=3C\Rightarrow C={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$\int {\displaystyle \frac{2}{x^3+x^2-2x}}dx=-\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{1}{3}}\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{2}{3}}\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+C$



Los cortes con el eje son las raíces ya factorizadas: $x=-2$, $x=0$ y $x=1$. La función cambia de signo en $x=0$ —es positiva en $(-2,0)$ y negativa en $(0,1)$—, así que integramos por separado.

${\int }_{-2}^0(x^3+x^2-2x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2]}_{-2}^0=0-(4-{\displaystyle \frac{8}{3}}-4)={\displaystyle \frac{8}{3}}$

${\int }_0^1(x^3+x^2-2x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-1=-{\displaystyle \frac{5}{12}}$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=\mid {\displaystyle \frac{8}{3}}\mid +\mid -{\displaystyle \frac{5}{12}}\mid ={\displaystyle \frac{32}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{37}{12}}$

El área del recinto es de ${\displaystyle \frac{37}{12}}\approx \mathrm{3,08}$ unidades de superficie.