Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Un diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base $8$ y altura $2$, toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados izquierdo e inferior están sobre los ejes coordenados $OY$ e $OX$, respectivamente. En el rectángulo descrito traza la curva de ecuación $y=2-\sqrt[3]{x}$ que va del vértice superior izquierdo del rectángulo al vértice inferior derecho. El diseñador quiere que la parte del rectángulo que queda por encima de la curva dada sea blanca. Para la parte que queda por debajo de la curva, toma un nuevo rectángulo con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas y el superior derecho en la curva. Ese rectángulo sería verde y lo que queda sería rojo.

Calcule el área que ocupa cada color en esta bandera si el diseñador quiere que el área roja sea la menor posible. [2 puntos]

$\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ocupa}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{color}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bandera}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{roja}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{posible.}}$



El rectángulo completo mide $8\cdot 2=16$ unidades de área y la curva $y=2-\sqrt[3]{x}$ lo parte en dos trozos: el de arriba es siempre blanco y el de abajo se reparte entre el verde y el rojo.

Se empieza por la parte blanca, que no depende de dónde se coloque el rectángulo verde. Es el área del rectángulo menos la que queda bajo la curva:

$A_{\text{blanca}}=16-{\displaystyle {\int }_0^8(2-\sqrt[3]{x})dx={\int }_0^8\sqrt[3]{x}dx={\left[{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^{4\mathrm{/}3}\right]}_0^8={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 16=12}$

Bajo la curva quedan, por tanto, $16-12=4$ unidades de área, que son las que se reparten el verde y el rojo. Como la suma es fija, hacer mínimo el rojo es lo mismo que hacer máximo el verde.

El rectángulo verde tiene un vértice en el origen y el opuesto sobre la curva, es decir, en el punto $(x,2-\sqrt[3]{x})$ con $0\le x\le 8$. Su área es base por altura:

$A(x)=x(2-\sqrt[3]{x})=2x-x^{4\mathrm{/}3}$

Se deriva y se iguala a cero para localizar el máximo:

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=2-{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^{1\mathrm{/}3}=0\Rightarrow x^{1\mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{27}{8}}$

El signo de la derivada confirma que ahí hay un máximo: $A^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ en $[0,\frac{27}{8})$ y $A^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ en $(\frac{27}{8},8]$, luego la función crece y luego decrece.

La altura correspondiente y el área verde valen:

$y=2-\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{27}{8}}}=2-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$A_{\text{verde}}={\displaystyle \frac{27}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{27}{16}}$

El rojo es lo que queda bajo la curva después de descontar el verde:

$A_{\text{roja}}=4-{\displaystyle \frac{27}{16}}={\displaystyle \frac{64-27}{16}}={\displaystyle \frac{37}{16}}$

La bandera de área roja mínima tiene $12$ unidades de área blancas, $\frac{27}{16}=\mathrm{1,6875}$ verdes y $\frac{37}{16}=\mathrm{2,3125}$ rojas, y el rectángulo verde mide $\frac{27}{8}$ de base por $\frac{1}{2}$ de altura.