Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

QUINTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(5A) Calcula la integral

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2-2x+3}{x^2-x-2}}dx}$

explicando los pasos realizados.

Se trata de la integral de una función racional. El primer paso obligado es comparar los grados del numerador y del denominador: aquí los dos valen 2, así que la fracción es impropia y hay que dividir antes de nada.

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Divisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{polinomios.}}$

$x^2-2x+3=(x^2-x-2)\cdot 1+(-x+5)$

${\displaystyle \frac{x^2-2x+3}{x^2-x-2}}=1+{\displaystyle \frac{-x+5}{x^2-x-2}}$

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Descomposici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{fracciones}}\mathbf{\text{simples.}}$

Se factoriza el denominador resolviendo la ecuación de segundo grado:

$x^2-x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow x=2,x=-1$

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$

Al tener dos raíces reales simples, la fracción restante se descompone en dos fracciones de denominador lineal:

${\displaystyle \frac{-x+5}{(x-2)(x+1)}}={\displaystyle \frac{A}{x-2}}+{\displaystyle \frac{B}{x+1}}$

Multiplicando por el denominador común se obtiene una identidad entre polinomios:

$-x+5=A(x+1)+B(x-2)$

Los coeficientes se calculan dando a $x$ los valores de las raíces, que anulan uno de los dos sumandos:

$x=2:3=3A\Rightarrow A=1$

$x=-1:6=-3B\Rightarrow B=-2$

${\displaystyle \frac{x^2-2x+3}{x^2-x-2}}=1+{\displaystyle \frac{1}{x-2}}-{\displaystyle \frac{2}{x+1}}$

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Integraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Ya solo quedan una integral inmediata y dos de tipo logarítmico:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2-2x+3}{x^2-x-2}}dx=\int 1dx+\int {\displaystyle \frac{1}{x-2}}dx-2\int {\displaystyle \frac{1}{x+1}}dx}$

$=x+\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }-2\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+C$

Agrupando los dos logaritmos mediante sus propiedades, el resultado se puede escribir también así:

$x+\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }}{(x+1{)}^2}}+C$

La integral pedida vale $x+\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }-2\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+C$, con $C$ constante de integración.