Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Pregunta 4 (2 puntos)

Opción 4.2. Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}+\cos (x)$, donde la variable $x$ está expresada en radianes.

a) (0,5 ptos.) Calcule la integral indefinida ${\displaystyle \int f(x)dx}$.

b) (1,5 ptos.) Determine el área del recinto del plano limitado por la gráfica de la función $f(x)$ con el eje $X$ y las rectas $x=0$ y $x=\pi$.

La integral es inmediata, porque una primitiva de la constante es la recta y una primitiva del coseno es el seno.

${\displaystyle \int ({\displaystyle \frac{1}{2}}+\cos x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}x+\mathrm{sen}x+C}$



Antes de integrar hay que ver si la función cambia de signo dentro del intervalo, porque en ese caso la integral definida no mide el área.

${\displaystyle \frac{1}{2}}+\cos x=0\Rightarrow \cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

$f(0)={\displaystyle \frac{3}{2}}>0;f(\pi )=-{\displaystyle \frac{1}{2}}<0$

La gráfica está por encima del eje en $(0,\frac{2\pi }{3})$ y por debajo en $(\frac{2\pi }{3},\pi )$, de modo que el área es la suma de las dos partes, la segunda cambiada de signo.



$A={\displaystyle {\int }_0^{2\pi \mathrm{/}3}f(x)dx-{\int }_{2\pi \mathrm{/}3}^{\pi }f(x)dx}$

$A={[{\displaystyle \frac{x}{2}}+\mathrm{sen}x]}_0^{2\pi \mathrm{/}3}-{[{\displaystyle \frac{x}{2}}+\mathrm{sen}x]}_{2\pi \mathrm{/}3}^{\pi }$

Por la regla de Barrow se sustituyen los límites en la primitiva.

${[{\displaystyle \frac{x}{2}}+\mathrm{sen}x]}_0^{2\pi \mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

${[{\displaystyle \frac{x}{2}}+\mathrm{sen}x]}_{2\pi \mathrm{/}3}^{\pi }={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})={\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$A={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-({\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\sqrt{3}$

El área del recinto es de ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\sqrt{3}\approx \mathrm{2,26}$ unidades cuadradas.