Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Calcular la siguiente integral indefinida:

${\displaystyle \int \sqrt{7x+5}dx}$ [2 puntos]

El integrando es una potencia de una expresión lineal, así que se resuelve por cambio de variable llevando dentro de la raíz todo lo que depende de $x$.

$t=7x+5\Rightarrow dt=7dx\Rightarrow dx={\displaystyle \frac{dt}{7}}$

${\displaystyle \int \sqrt{7x+5}dx=\int \sqrt{t}{\displaystyle \frac{dt}{7}}={\displaystyle \frac{1}{7}}\int t^{1\mathrm{/}2}dt}$

Se aplica la regla de la potencia, $\int t^{n}dt={\displaystyle \frac{t^{n+1}}{n+1}}+C$, con $n={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

$={\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{t^{3\mathrm{/}2}}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}+C={\displaystyle \frac{2}{21}}{t}^{3\mathrm{/}2}+C$

Se deshace el cambio para dejar el resultado en función de la variable original.

${\displaystyle \int \sqrt{7x+5}dx={\displaystyle \frac{2}{21}}\sqrt{(7x+5{)}^3}+C}$

Se comprueba derivando la primitiva obtenida: ${\displaystyle \frac{2}{21}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}(7x+5{)}^{1\mathrm{/}2}\cdot 7=\sqrt{7x+5}$, que es el integrando de partida.