Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Considere la siguiente función real:

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1-\sqrt{x}}}$

y responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Determine el dominio de definición de $f(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcule una primitiva de $f(x)$, que se haga nula en $x=0$. [1,25 puntos]

c) Calcule el valor de $x$ para el cual $f(x)$ alcanza el valor máximo en $(1,\mathrm{\infty })$. [0,75 puntos]

Hay dos restricciones que imponer: el radicando de la raíz cuadrada no puede ser negativo y el denominador no puede anularse.

$x\ge 0$

$1-\sqrt{x}=0\Rightarrow \sqrt{x}=1\Rightarrow x=1$

El valor $x=1$ es el único que anula el denominador y hay que excluirlo del intervalo anterior.

El dominio es $\mathrm{Dom}(f)=[0,1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$.



La raíz cuadrada sugiere el cambio de variable que la hace desaparecer.

$t=\sqrt{x}\Rightarrow x=t^2,dx=2tdt$

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{1-\sqrt{x}}}dx=\int {\displaystyle \frac{t^2}{1-t}}2tdt=\int {\displaystyle \frac{2t^3}{1-t}}dt}$

El integrando es una fracción algebraica con el grado del numerador mayor que el del denominador, así que efectuamos la división entera.

${\displaystyle \frac{2t^3}{1-t}}=-2t^2-2t-2+{\displaystyle \frac{2}{1-t}}$

Se comprueba multiplicando el cociente por $1-t$ y sumando el resto. Ahora la integral es inmediata término a término.

${\displaystyle \int (-2t^2-2t-2+{\displaystyle \frac{2}{1-t}})dt=-{\displaystyle \frac{2t^3}{3}}-t^2-2t-2\ln \mathrm{\mid }1-t\mathrm{\mid }+C}$

Deshacemos el cambio sustituyendo $t=\sqrt{x}$ y $t^2=x$.

$F(x)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}-2\ln \mid 1-\sqrt{x}\mid +C$

Imponemos por último la condición del enunciado.

$F(0)=0-0-0-2\ln 1+C=C=0$

La primitiva pedida es $F(x)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}-2\ln \mid 1-\sqrt{x}\mid$, cuya derivada devuelve el integrando de partida.



Derivamos la función como un cociente, teniendo en cuenta que la derivada de $\sqrt{x}$ es $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot (1-\sqrt{x})-x\cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}})}{{(1-\sqrt{x})}^2}}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}}{{(1-\sqrt{x})}^2}}={\displaystyle \frac{2-\sqrt{x}}{2{(1-\sqrt{x})}^2}}$

El denominador es positivo en todo el intervalo, luego el signo lo decide el numerador.

$2-\sqrt{x}=0\Rightarrow \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$

Comprobamos el cambio de signo con un punto a cada lado: $f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{2,25})=\frac{2-\mathrm{1,5}}{2(1-\mathrm{1,5}{)}^2}>0$ y $f^{\mathrm{\prime }}(9)=\frac{2-3}{2(1-3{)}^2}<0$. La función crece antes de $x=4$ y decrece después, de modo que ahí hay un máximo.

$f(4)={\displaystyle \frac{4}{1-\sqrt{4}}}={\displaystyle \frac{4}{1-2}}=-4$



En el intervalo $(1,+\mathrm{\infty })$ la función alcanza su valor máximo en $x=4$, y ese máximo vale $f(4)=-4$.