Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Se considera la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x-y+z=0\end{array}$ y el plano $\pi \equiv 2x+y+\beta z=3$. Se pide:

a) Calcule, en caso de que exista, el valor de $\beta \in \mathbb{R}$ que hace que $r$ y $\pi$ sean paralelos. [0,75 puntos]

b) Calcule, en caso de que exista, el valor de $\beta$ para que el plano y la recta sean perpendiculares. [0,75 puntos]

c) Para $\beta =0$, calcule el simétrico del punto $(-1,0,1)$ respecto del plano $\pi$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{exista,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{β}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{r}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{π}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{paralelos.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su vector director es perpendicular a los dos normales, es decir, su producto vectorial:

${\vec{n}}_1=(1,1,1){\vec{n}}_2=(2,-1,1)$

$\vec{v}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 2& -1& 1\end{array}\mid =(1+1)\vec{\mathrm{ı}}-(1-2)\vec{\mathrm{ȷ}}+(-1-2)\vec{k}=(2,1,-3)$

La recta es paralela al plano $\pi$ cuando su director es perpendicular al normal del plano, ${\vec{n}}_{\pi }=(2,1,\beta )$:

$\vec{v}\cdot {\vec{n}}_{\pi }=2\cdot 2+1\cdot 1+(-3)\beta =5-3\beta =0\Rightarrow \beta =\frac{5}{3}$

Falta comprobar que la recta no queda contenida en el plano, en cuyo caso no serían paralelos. Un punto de $r$ es $P(0,1,1)$ —se obtiene haciendo $z=1$ en el sistema—, y al sustituirlo:

$2\cdot 0+1+\frac{5}{3}\cdot 1=\frac{8}{3}\mathrm{\ne }3$

El punto no está en el plano, luego para $\beta =\frac{5}{3}$ la recta y el plano son efectivamente paralelos y disjuntos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{exista,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{β}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{perpendiculares.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora la condición es la contraria: que el director de la recta sea paralelo al normal del plano.

$(2,1,-3)=k(2,1,\beta )$

De las dos primeras componentes, $k=1$, y llevándolo a la tercera:

$-3=\beta$

Para $\beta =-3$ la recta es perpendicular al plano. Se comprueba que entonces ${\vec{n}}_{\pi }=(2,1,-3)=\vec{v}$, en efecto proporcionales.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{β}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{(-1,}}\mathbf{\text{0,}}\mathbf{\text{1)}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{π.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Con $\beta =0$ el plano es $\pi \equiv 2x+y=3$, de vector normal $(2,1,0)$.

El simétrico se obtiene en dos pasos: primero se halla el pie $M$ de la perpendicular al plano trazada desde $P$, y luego se prolonga esa misma distancia al otro lado.





Recta perpendicular por $P(-1,0,1)$:

$(x,y,z)=(-1,0,1)+t(2,1,0)=(-1+2t,t,1)$

Corte con el plano:

$2(-1+2t)+t=3\Rightarrow -2+4t+t=3\Rightarrow 5t=5\Rightarrow t=1$

$M=(1,1,1)$

Como $M$ es el punto medio de $P$ y su simétrico $P^{\mathrm{\prime }}$:

$P^{\mathrm{\prime }}=2M-P=(2\cdot 1-(-1),2\cdot 1-0,2\cdot 1-1)$

$P^{\mathrm{\prime }}=(3,2,1)$

El simétrico es $P^{\mathrm{\prime }}(3,2,1)$. Se comprueba que el punto medio de $P$ y $P^{\mathrm{\prime }}$ es $(\frac{-1+3}{2},\frac{0+2}{2},\frac{1+1}{2})=(1,1,1)=M$, que pertenece al plano ($2+1=3$).