Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$, se pide:

a) Calcule una primitiva de la función $f$ que en 0 valga 1. [1,25 puntos]

b) Calcule el área encerrada entre la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x=-1$ y $x=1$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{valga}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El numerador es, salvo un factor 2, la derivada del denominador, de modo que la integral es de tipo logarítmico:

$\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$

No hace falta valor absoluto, porque $x^2+1>0$ siempre. Se impone ahora la condición:

$F(0)=\frac{1}{2}\ln (1)+C=C=1$

$F(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+1$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{encerrada}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-1}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La función es impar, $f(-x)=-f(x)$, y se anula solo en $x=0$. Eso significa que en $(-1,0)$ la gráfica va por debajo del eje y en $(0,1)$ por encima, así que hay que partir la integral en los dos trozos: si se integrase de $-1$ a $1$ de golpe, saldría cero.





$\acute{\text{A}}\text{rea}=\mid {\int }_{-1}^{0}f\mid +{\int }_0^{1}f=2{\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx$

donde la última igualdad usa la simetría: los dos lóbulos tienen exactamente la misma área.

${\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx={[\frac{1}{2}\ln (x^2+1)]}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{\ln 2}{2}$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=2\cdot \frac{\ln 2}{2}=\ln 2\approx \mathrm{0,693}{\text{u}}^2$

El área encerrada es $\ln 2\approx \mathrm{0,69}$ unidades cuadradas.