Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2025

Una matriz $M$ verifica que $\det (M)=x$. Los apartados siguientes son independientes. Se pide:

a) Supongamos que la matriz $M$ tiene 2 filas y 2 columnas, y que $M^2=(x-1)I$, siendo $I$ la matriz identidad. Calcule todos los valores de $x\in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) Supongamos ahora que la matriz $M$ tiene 3 filas y 3 columnas. Estudie si existe algún valor de $x$ para el que pueda ser $M=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& -1& x\\ -1& -1& 0\end{array}\right)$. [0,75 puntos]

c) Supongamos ahora que el tamaño de $M$ es $3\times 3$, que $x\mathrm{\ne }0$ y que $M=x{M}^2$. Calcule los posibles valores de $x$ y $\det (M^{-1})$ para cada uno de ellos. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Supongamos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{filas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{columnas,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{M²}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{(x}}\mathbf{\text{-}}\mathbf{\text{1)I,}}\mathbf{\text{siendo}}\mathbf{\text{I}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{identidad.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{reales.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se toman determinantes en los dos miembros. A la izquierda, el determinante de un producto es el producto de determinantes; a la derecha, al multiplicar una matriz $2\times 2$ por un escalar el determinante queda multiplicado por el cuadrado de ese escalar:

$\det (M^2)=\det (M{)}^2=x^2$

$\det ((x-1)I)=(x-1{)}^2\det (I)=(x-1{)}^2$

Igualando:

$x^2=(x-1{)}^2\Rightarrow x^2=x^2-2x+1\Rightarrow 2x=1$

$x=\frac{1}{2}$

El único valor posible es $x=\frac{1}{2}$. Obsérvese que se ha usado únicamente la información sobre determinantes: no hace falta conocer la matriz.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Supongamos}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{filas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{columnas.}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pueda}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{dada.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se calcula el determinante de esa matriz concreta y se impone que valga $x$, que es lo que dice el enunciado del ejercicio:

$\det (M)=\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& -1& x\\ -1& -1& 0\end{array}\mid =2(0+x)-1(0+x)+1(0-1)$

$\det (M)=2x-x-1=x-1$

La condición $\det (M)=x$ se convierte en

$x-1=x\Rightarrow -1=0$

que es absurdo. No existe ningún valor de $x$ para el que $M$ pueda ser esa matriz: sea cual sea $x$, su determinante siempre se queda una unidad por debajo del valor exigido.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Supongamos}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{×}}\mathbf{\text{3,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{distinto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cero}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{xM².}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{posibles}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{det(M⁻¹)}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

De nuevo se toman determinantes, ahora en una matriz de orden 3, donde el escalar sale elevado al cubo:

$\det (M)=\det \left(x{M}^2\right)=x^3\det (M^2)=x^3\det (M{)}^2$

Sustituyendo $\det (M)=x$:

$x=x^3\cdot x^2=x^5\Rightarrow x^5-x=0\Rightarrow x(x^4-1)=0$

Como el enunciado excluye $x=0$, queda $x^4=1$, cuyas soluciones reales son

$x=1\text{y}x=-1$

En los dos casos $\det (M)\mathrm{\ne }0$, así que $M$ es invertible y el determinante de la inversa es el inverso del determinante:

$\det \left(M^{-1}\right)=\frac{1}{\det (M)}=\frac{1}{x}$

$x=1\Rightarrow \det \left(M^{-1}\right)=1x=-1\Rightarrow \det \left(M^{-1}\right)=-1$