Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Considere las matrices presentadas a continuación,

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 3\\ 1& 4& -a\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\text{y}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$

donde el parámetro $a\in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Halle los valores del parámetro $a$ para los que $A$ tiene inversa. [1 punto]

b) Considere $a=0$, calcule la matriz $X$ que cumple: [1,5 puntos]

$AXB=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathit{A}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula, así que calculamos el determinante en función de $a$ por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& 0& 3\\ 1& 4& -a\\ 0& 1& 1\end{array}\mid =4a+0+3-(0-a^2+0)=a^2+4a+3$

Igualamos a cero para localizar los valores que hay que excluir.

$a^2+4a+3=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{16-12}}{2}}={\displaystyle \frac{-4\pm 2}{2}}\Rightarrow a=-1,a=-3$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(a+1)(a+3)$

Para $a=-1$ y para $a=-3$ el determinante vale cero y la matriz no es invertible; en esos dos casos el rango baja a dos, porque el menor $\mid \begin{array}{cc}4& -a\\ 1& 1\end{array}\mid =4+a$ no se anula para ninguno de los dos.

La matriz $A$ tiene inversa para todo $a\in \mathbb{R}$ salvo $a=-1$ y $a=-3$.



Llamamos $C$ a la matriz del segundo miembro. Como $A$ es de orden tres y $B$ de orden dos, y el producto $AXB$ es de tamaño $3\times 2$, la incógnita $X$ ha de ser también $3\times 2$. Despejamos multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha, en ese orden.

$AXB=C\Rightarrow A^{-1}AXB{B}^{-1}=A^{-1}C{B}^{-1}\Rightarrow X=A^{-1}C{B}^{-1}$

Con $a=0$ el determinante vale $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0+0+3=3\mathrm{\ne }0$ y el de $B$ vale $\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=2\mathrm{\ne }0$, de modo que las dos inversas existen.

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 3\\ 1& 4& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right),A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}4& 3& -12\\ -1& 0& 3\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right),B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

Comprobamos que $A{A}^{-1}=I$ y que $B{B}^{-1}=I$, y hacemos los dos productos empezando por la izquierda.

$A^{-1}C={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}4& 3& -12\\ -1& 0& 3\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}11& 15\\ -2& -3\\ 2& 0\end{array}\right)$

$X=\left(A^{-1}C\right)B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}11& 15\\ -2& -3\\ 2& 0\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}37& 15\\ -7& -3\\ 4& 0\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado sustituyendo en la ecuación de partida: $AXB=C$.

La matriz buscada es $X={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}37& 15\\ -7& -3\\ 4& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{37}{6}& \frac{5}{2}\\ -\frac{7}{6}& -\frac{1}{2}\\ \frac{2}{3}& 0\end{array}\right)$.