Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& a\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ a& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, con $a\in \mathbb{R}$.

a) [1,25 puntos] Calcule los valores del parámetro $a$ para que $A\cdot B$ sea invertible. Justifique su respuesta.

b) [1,25 puntos] Calcule la inversa de $A\cdot B$ en función de $a$.

El producto de una matriz $2\times 3$ por otra $3\times 2$ es una matriz cuadrada de orden dos, que es invertible si y solo si su determinante no se anula. Empezamos calculando el producto.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& a\\ 1& -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ a& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+2a& 3+2a\\ 1-a& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=(1+2a)\cdot 1-(3+2a)(1-a)=1+2a-3+3a-2a+2a^2$

$\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=2a^2+3a-2$

$2a^2+3a-2=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{4}}={\displaystyle \frac{-3\pm 5}{4}}$

$a={\displaystyle \frac{1}{2}},a=-2$

La matriz $A\cdot B$ es invertible para todo $a\in \mathbb{R}$ salvo $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $a=-2$, que son los valores que anulan su determinante.



Para una matriz de orden dos la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo entre el determinante.

$(A\cdot B{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2a^2+3a-2}}\left(\begin{array}{cc}1& -(3+2a)\\ -(1-a)& 1+2a\end{array}\right)$

$(A\cdot B{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2a^2+3a-2}}\left(\begin{array}{cc}1& -3-2a\\ a-1& 1+2a\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando por la matriz de partida:

${\displaystyle \frac{1}{2a^2+3a-2}}\left(\begin{array}{cc}1& -3-2a\\ a-1& 1+2a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1+2a& 3+2a\\ 1-a& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

La inversa existe para $a\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $a\mathrm{\ne }-2$, y vale ${\displaystyle \frac{1}{2a^2+3a-2}}\left(\begin{array}{cc}1& -3-2a\\ a-1& 1+2a\end{array}\right)$.