Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Sean $A$, $B$, $C$ y $D$ cuatro matrices de dimensión $2\times 3$, $1\times 3$, $2\times 3$ y $2\times 3$ respectivamente. Indique, justificadamente, si se pueden realizar las siguientes operaciones:

(i) $AC$,

(ii) $D^{-1}A$,

(iii) $B(A+C{)}^{\mathrm{\top }}$,

donde el superíndice $\mathrm{\top }$ indica la matriz transpuesta y el superíndice $-1$ indica la matriz inversa. En caso afirmativo diga cuál es la dimensión de la matriz resultante. [2 puntos]

$\mathbf{\text{Sean}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{,}}\mathit{C}\mathbf{\text{y}}\mathit{D}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dimensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\times </mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\times </mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\times </mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\times </mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn></mrow>}\mathbf{\text{respectivamente.}}\mathbf{\text{Indique,}}\mathbf{\text{justificadamente,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pueden}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{operaciones.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Conviene recordar las dos reglas que deciden todo el ejercicio. El producto $M\cdot N$ existe solo si el número de columnas de $M$ coincide con el número de filas de $N$, y entonces el resultado tiene las filas de $M$ y las columnas de $N$. Y una matriz solo puede tener inversa si es cuadrada.

$A_{2\times 3},B_{1\times 3},C_{2\times 3},D_{2\times 3}$



$A_{2\times 3}\cdot C_{2\times 3}:3\mathrm{\ne }2$

La matriz $A$ tiene 3 columnas y $C$ tiene 2 filas, así que no coinciden y el producto no se puede efectuar.



$D_{2\times 3}\Rightarrow \text{no es cuadrada}\Rightarrow \mathrm{\nexists }{D}^{-1}$

La matriz $D$ es de orden $2\times 3$, luego no es cuadrada y no tiene inversa. La operación no se puede realizar, y por tanto tampoco el producto que la usa.



La suma $A+C$ sí está definida, porque las dos matrices tienen el mismo tamaño, y su resultado conserva ese tamaño. Al transponer se intercambian filas y columnas.

$A_{2\times 3}+C_{2\times 3}=(A+C{)}_{2\times 3}\Rightarrow (A+C{)}_{3\times 2}^{\mathrm{\top }}$

$B_{1\times 3}\cdot (A+C{)}_{3\times 2}^{\mathrm{\top }}:3=3$

Las columnas de $B$ y las filas de la transpuesta coinciden, de modo que el producto sí se puede realizar.

$B(A+C{)}^{\mathrm{\top }}\text{es de dimensi}\acute{\text{o}}\text{n }1\times 2$

De las tres operaciones solo es posible la tercera, que da una matriz fila de dimensión $1\times 2$; las dos primeras no lo son, la primera porque los tamaños no encajan en el producto y la segunda porque una matriz rectangular no admite inversa.