Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Dada la función $f(x)=\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)$.

a) Calcule una primitiva que pase por el punto $(0,1)$. [1,25 puntos]

b) Calcule el área limitada por $f$, el eje X y las rectas $x=0$ y $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pase}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Conviene simplificar primero la función con la razón trigonométrica del ángulo complementario, porque así la integral es inmediata.

$f(x)=\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)=\cos (2x)$

$\int \cos (2x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}(2x)+C$

De todas las primitivas buscamos la que pasa por $(0,1)$, es decir, la que cumple $F(0)=1$.

$F(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}(0)+C=C=1$

$F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}(2x)+1$

La primitiva pedida es $F(x)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(2x)+1$.



Antes de integrar hay que localizar los puntos en los que la curva corta al eje de abscisas dentro del intervalo, porque en los tramos en los que la función es negativa la integral resta área.

$\cos (2x)=0\Rightarrow 2x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}},k\in \mathbb{Z}$

El único corte en $[0,\frac{\pi }{2}]$ es $x=\frac{\pi }{4}$. Evaluando en un punto de cada tramo se ve que $f$ es positiva en el primero y negativa en el segundo.



Calculamos por separado las dos integrales y aplicamos la regla de Barrow con la primitiva obtenida en el apartado anterior.

$A_1={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\cos (2x)dx={[{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}(2x)]}_0^{\pi \mathrm{/}4}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)-0={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$A_2={\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}2}\cos (2x)dx={[{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}(2x)]}_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}(\pi )-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

El área es la suma de los valores absolutos:

$A=\mathrm{\mid }{A}_1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{A}_2\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=1$

El área limitada por la curva, el eje X y las dos rectas es de 1 unidad de área.