Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Una imprenta compra la tinta a dos empresas distintas. En la empresa A compra el 60 % de sus pedidos, y el resto a la empresa B. Se observa que el 1,6 % de las cajas de tinta de la empresa A llegan con defecto, mientras que de la empresa B sólo el 0,9 % son defectuosas. Se toma una caja al azar:

a) Calcule la probabilidad de que la caja sea defectuosa. [1,25 puntos]

b) Si la caja seleccionada no es defectuosa, calcule la probabilidad de que se haya comprado a la empresa A. [1,25 puntos]

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ la caja procede de la empresa A

$B\equiv$ la caja procede de la empresa B

$D\equiv$ la caja llega con defecto

El porcentaje de la empresa B se obtiene por diferencia, porque toda la tinta se compra a una de las dos.

$P(A)=\mathrm{0,60},P(B)=1-\mathrm{0,60}=\mathrm{0,40}$

$P(D\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,016},P(D\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,009}$

El árbol del problema es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las dos empresas forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando los dos caminos que terminan en $D$.

$P(D)=P(A)\cdot P(D\mathrm{\mid }A)+P(B)\cdot P(D\mathrm{\mid }B)$

$P(D)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,016}+\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,009}$

$P(D)=\mathrm{0,0096}+\mathrm{0,0036}=\mathrm{0,0132}$

La probabilidad de que la caja elegida sea defectuosa es $\mathrm{0,0132}$, es decir, un $\mathrm{1,32}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{seleccionada}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{defectuosa,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{comprado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se conoce el estado de la caja y se pregunta por su procedencia, de modo que es una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes.

$P(A\mathrm{\mid }\bar{D})={\displaystyle \frac{P(A)\cdot P(\bar{D}\mathrm{\mid }A)}{P(\bar{D})}}$

El denominador es el complementario de lo calculado en el apartado anterior:

$P(\bar{D})=1-\mathrm{0,0132}=\mathrm{0,9868}$

El numerador es el camino que pasa por $A$ y termina en $\bar{D}$:

$P(A\cap \bar{D})=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,984}=\mathrm{0,5904}$

$P(A\mathrm{\mid }\bar{D})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5904}}{\mathrm{0,9868}}}\approx \mathrm{0,5983}$

Si la caja no es defectuosa, la probabilidad de que proceda de la empresa A es $\mathrm{0,5983}$, es decir, un $\mathrm{59,83}\mathrm{\%}$: apenas por debajo del $60\mathrm{\%}$ de partida, porque las dos tasas de defectos son muy pequeñas y parecidas.