Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

Las calificaciones de la asignatura Análisis Matemático I de la Facultad de Matemáticas siguen una distribución $N(5,2)$.

a) Calcule la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota mayor o igual que $\mathrm{7,5}$. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota entre 3 y 5. [0,75 puntos]

c) Se modifica el sistema de enseñanza de forma que la desviación típica ahora es $\mathrm{1,5}$ y la probabilidad de obtener una nota menor o igual que 6 sea $\mathrm{0,52}$. ¿Cuál sería la nueva media? ¿Ha funcionado el sistema aplicado? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$ son: $F(x)=P(Z\le x)$, $F(0)=\mathrm{0,5}$, $F(\mathrm{1,25})=\mathrm{0,8944}$, $F(\mathrm{0,05})=\mathrm{0,52}$, $F(\mathrm{0,52})=\mathrm{0,6985}$, $F(\mathrm{0,8944})=\mathrm{0,8133}$, $F(1)=\mathrm{0,8413}$.

Llamamos $X$ a la calificación de un estudiante en la asignatura.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(5;2)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">7,5</mn>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-5}{2}}\sim N(0,1)$

$P(X\ge \mathrm{7,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{7,5}-5}{2}})=P(Z\ge \mathrm{1,25})$

La tabla da el área acumulada a la izquierda, así que pasamos al suceso contrario.

$P(Z\ge \mathrm{1,25})=1-F(\mathrm{1,25})=1-\mathrm{0,8944}=\mathrm{0,1056}$



La probabilidad de obtener una nota mayor o igual que 7,5 es $\mathrm{0,1056}$, es decir, un $\mathrm{10,56}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{5.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo. El superior es la propia media, de modo que su valor tipificado es cero.

$P(3\le X\le 5)=P({\displaystyle \frac{3-5}{2}}\le Z\le {\displaystyle \frac{5-5}{2}})=P(-1\le Z\le 0)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, esa franja mide lo mismo que la que va de 0 a 1:

$P(-1\le Z\le 0)=P(0\le Z\le 1)=F(1)-F(0)$

$=\mathrm{0,8413}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,3413}$



La probabilidad de obtener una nota entre 3 y 5 es $\mathrm{0,3413}$, es decir, un $\mathrm{34,13}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{modifica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ense}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{anza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">1,5</mn>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{sea}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">0,52</mn>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{media?}}\mathbf{\text{¿Ha}}\mathbf{\text{funcionado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{aplicado?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora el dato conocido es la probabilidad y la incógnita es la media, así que se recorre el camino inverso: se busca en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda esa área.

$P(X\le 6)=\mathrm{0,52}\Rightarrow F(z)=\mathrm{0,52}\Rightarrow z=\mathrm{0,05}$

Escribimos la tipificación de 6 con la nueva desviación típica y la media como incógnita:

$z={\displaystyle \frac{6-\mu }{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,05}$

$6-\mu =\mathrm{0,075}\Rightarrow \mu =6-\mathrm{0,075}=\mathrm{5,925}$

La nueva media es de 5,925 puntos frente a los 5 de partida, y además la desviación típica ha bajado de 2 a 1,5, de modo que las notas son más altas y están más agrupadas: el sistema aplicado sí ha funcionado.