Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

En una pumarada la producción en kilogramos de cada manzano sigue una distribución normal de media $\mu =50$ y desviación típica $\sigma =10$. Calcule:

a) La proporción de árboles que dan entre 30 y 60 kilogramos. [1,25 puntos]

b) El número de kilogramos por árbol a los que no llegan o igualan el 60 % de los árboles. [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(x)=P(Z\le x)$, $F(2)=\mathrm{0,9772}$, $F(1)=\mathrm{0,8413}$, $F(\mathrm{1,5})=\mathrm{0,9332}$, $F(\mathrm{0,5})=\mathrm{0,6915}$, $F(\mathrm{0,2533})=\mathrm{0,6}$, $F(\mathrm{0,5244})=\mathrm{0,7}$, $F(\mathrm{0,8416})=\mathrm{0,8}$.

Llamamos $X$ a la producción, en kilogramos, de un manzano.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(50;10)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rboles}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dan}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{kilogramos.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-50}{10}}\sim N(0,1)$

$P(30\le X\le 60)=P({\displaystyle \frac{30-50}{10}}\le Z\le {\displaystyle \frac{60-50}{10}})=P(-2\le Z\le 1)$

La probabilidad de una franja es la diferencia de las dos áreas acumuladas, y la del extremo negativo se lleva al semieje positivo por simetría.

$P(-2\le Z\le 1)=F(1)-F(-2)=F(1)-[1-F(2)]$

$=\mathrm{0,8413}-(1-\mathrm{0,9772})=\mathrm{0,8413}-\mathrm{0,0228}=\mathrm{0,8185}$



La proporción de árboles que producen entre 30 y 60 kilogramos es $\mathrm{0,8185}$, es decir, un $\mathrm{81,85}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{kilogramos}}\mathbf{\text{por}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{llegan}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igualan}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rboles.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se busca el valor $k$ que deja por debajo de sí al 60 % de los árboles, de modo que ahora el dato es la probabilidad y la incógnita es la producción: se recorre el camino inverso.

$P(X\le k)=\mathrm{0,6}$

$F(z)=\mathrm{0,6}\Rightarrow z=\mathrm{0,2533}$



Deshacemos la tipificación para volver a la variable original:

$z={\displaystyle \frac{k-50}{10}}=\mathrm{0,2533}$

$k-50=\mathrm{2,533}\Rightarrow k=\mathrm{52,533}$

El 60 % de los árboles no llega a los $\mathrm{52,53}\text{ kg}$ de producción, un valor algo por encima de la media, como corresponde a un porcentaje mayor que el 50 %.