Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

Se tiene un suceso con variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal de media $\mu =30$ y desviación típica $\sigma =10$. Calcule:

a) La probabilidad de que $X\le 20$. [1,25 puntos]

b) Se hace una revisión de los datos y se observa que la probabilidad del 50 % se alcanza en el valor $X\le 35$ y la probabilidad del 75 % se alcanza en el valor $X\le 40$. ¿Cuáles son las nuevas media y desviación típica? [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(x)=P(Z\le x)$, $F(0)=\mathrm{0,5}$, $F(\mathrm{0,6745})=\mathrm{0,75}$, $F(\mathrm{0,8416})=\mathrm{0,8}$, $F(1)=\mathrm{0,8413}$, $F(\mathrm{1,375})=\mathrm{0,9154}$, $F(\mathrm{1,5})=\mathrm{0,9332}$, $F(2)=\mathrm{0,9772}$.

La variable aleatoria del enunciado sigue una distribución normal de parámetros conocidos.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(30;10)$



Tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-30}{10}}\sim N(0,1)$

$P(X\le 20)=P(Z\le {\displaystyle \frac{20-30}{10}})=P(Z\le -1)$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que llevamos el suceso al semieje positivo usando la simetría de la campana:

$P(Z\le -1)=P(Z\ge 1)=1-F(1)$

$=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$



La probabilidad de que $X$ sea menor o igual que 20 es $\mathrm{0,1587}$, es decir, un $\mathrm{15,87}\mathrm{\%}$.



El primer dato da la media sin ningún cálculo: en una distribución normal la media coincide con la mediana, es decir, con el valor que deja a su izquierda exactamente la mitad del área.

$P(X\le 35)=\mathrm{0,5}\Rightarrow \mu =35$

Se ve también tipificando, porque $F(z)=\mathrm{0,5}$ obliga a $z=0$:

${\displaystyle \frac{35-\mu }{\sigma }}=0\Rightarrow \mu =35$

Con la media ya conocida, el segundo dato da la desviación típica. Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda un área de 0,75.

$F(z)=\mathrm{0,75}\Rightarrow z=\mathrm{0,6745}$



$z={\displaystyle \frac{40-35}{\sigma }}=\mathrm{0,6745}$

$\sigma ={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{0,6745}}}\approx \mathrm{7,41}$

La nueva media es 35 y la nueva desviación típica vale $\mathrm{7,41}$ aproximadamente, algo menor que la de partida: los datos se han desplazado hacia la derecha y están un poco más agrupados.