Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sea $s$ la recta de ecuación $x-2={\displaystyle \frac{y-2}{-1}}=z$, y $r$ la recta que pasa por los puntos $A=(1,0,1)$ y $B=(2,1,2)$.

a) Indique la posición relativa de $r$ y $s$. [1 punto]

b) Calcule el plano paralelo a $r$ y que contiene a $s$. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia entre las rectas $r$ y $s$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Empezamos escribiendo un punto y un vector director de cada recta. Los de $s$ se leen en su ecuación continua, y el de $r$ es el vector que une los dos puntos dados.

$s:{\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y-2}{-1}}={\displaystyle \frac{z}{1}}\Rightarrow P_s(2,2,0),{\vec{v}}_s=(1,-1,1)$

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{AB}=(2,1,2)-(1,0,1)=(1,1,1),A(1,0,1)$

Los directores no son proporcionales, porque $\frac{1}{1}\mathrm{\ne }\frac{1}{-1}$, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Lo decide el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta.

$\overrightarrow{A{P}_s}=(2,2,0)-(1,0,1)=(1,2,-1)$

$[{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s,\overrightarrow{A{P}_s}]=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\mid$

$=1(1-2)-1(-1-1)+1(2+1)=-1+2+3=4\mathrm{\ne }0$

Al no anularse el producto mixto, los tres vectores no son coplanarios y las rectas $r$ y $s$ se cruzan.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El plano buscado contiene a $s$ y es paralelo a $r$, de modo que los dos directores son direcciones suyas y su normal es el producto vectorial de ambos.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\mid =(1+1)\vec{i}-(1-1)\vec{j}+(-1-1)\vec{k}=(2,0,-2)$

Simplificamos dividiendo entre 2 e imponemos que el plano pase por $P_s(2,2,0)$:

$\vec{n}=(1,0,-1)\Rightarrow \pi :x-z+D=0$

$2-0+D=0\Rightarrow D=-2$

$\pi :x-z-2=0$

Comprobamos que $r$ no está contenida en él, sustituyendo $A(1,0,1)$:

$1-1-2=-2\mathrm{\ne }0$

El plano pedido es $\pi :x-z=2$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para dos rectas que se cruzan, la distancia es el cociente entre el valor absoluto del producto mixto y el módulo del producto vectorial de los directores; los dos están ya calculados.

$d(r,s)={\displaystyle \frac{\mid [{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s,\overrightarrow{A{P}_s}]\mid }{\mid {\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s\mid }}$

$\mid {\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s\mid =\sqrt{2^2+0^2+(-2{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$d(r,s)={\displaystyle \frac{4}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$

La distancia entre las dos rectas es de $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$ unidades de longitud. Se puede comprobar también midiendo desde $A$ el plano del apartado b), que contiene a $s$ y es paralelo a $r$:

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-1-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$