Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado $a\in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:

$\{\begin{array}{l}x-y+az=-1\\ 2x+y=1\\ y+2z=1\end{array}$

a) Discuta el sistema según los valores de $a$. [1 punto]

b) Resuelva el sistema para el caso $a=-3$ si es posible. [0,75 puntos]

c) Encuentre, en caso de que exista, un valor de $a$ que verifique $x=1$. Calcule la solución en ese caso. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes. Lo desarrollamos por la primera columna.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& a\\ 2& 1& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\mid =1\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}-1& a\\ 1& 2\end{array}\mid$

$=1\cdot 2-2(-2-a)=2+4+2a=2a+6=2(a+3)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=-3$

Si $a\mathrm{\ne }-3$:

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

Si $a=-3$, el determinante se anula. En la matriz de coeficientes queda un menor de orden 2 no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\mid =1+2=3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Orlamos ese menor en la ampliada con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\mid =1(1-1)+1(2-0)-1(2-0)=0+2-2=0$

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

El sistema es compatible determinado salvo para $a=-3$, en cuyo caso es compatible indeterminado con un grado de libertad.



Por el apartado anterior sabemos que hay infinitas soluciones y que el rango es 2, así que nos quedamos con las dos ecuaciones del menor no nulo y pasamos la tercera incógnita al otro miembro como parámetro.

$z=\lambda$

$\{\begin{array}{l}x-y=-1+3\lambda \\ 2x+y=1\end{array}$

Sumando las dos ecuaciones desaparece $y$:

$3x=3\lambda \Rightarrow x=\lambda$

$y=1-2x=1-2\lambda$

$(x,y,z)=(\lambda ,1-2\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos en la tercera ecuación, que es la que se ha dejado fuera:

$y+2z=1-2\lambda +2\lambda =1$



Conviene fijarse primero en que la terna $(0,1,0)$ satisface las tres ecuaciones sea cual sea el valor de $a$, porque en la primera la incógnita $z$ aparece multiplicada por el parámetro y vale cero.

$0-1+a\cdot 0=-1,2\cdot 0+1=1,1+2\cdot 0=1$

Por tanto, siempre que el sistema sea compatible determinado —es decir, para $a\mathrm{\ne }-3$— su única solución es $(0,1,0)$, que tiene $x=0$. Se descartan así todos esos valores.

Queda por examinar $a=-3$, para el que el apartado anterior da infinitas soluciones. Imponemos en ellas la condición pedida:

$x=\lambda =1$

$(x,y,z)=(1,1-2,1)=(1,-1,1)$

Comprobamos la terna en las tres ecuaciones del sistema con $a=-3$:

$1-(-1)-3\cdot 1=1+1-3=-1,2\cdot 1+(-1)=1,-1+2\cdot 1=1$

El único valor que sirve es $a=-3$, y la solución correspondiente es $(1,-1,1)$.