Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

En un examen de acceso a Médico Interno Residente se realiza un test y se supera la prueba si se obtiene al menos 75 puntos. Suponiendo que las puntuaciones de los candidatos siguen una distribución normal de media 70 y desviación típica 10, calcule:

a) La probabilidad de que la calificación de una persona esté en el intervalo $[75,85]$. [1,25 puntos]

b) Tras resolver las reclamaciones realizadas por los candidatos se observa que la desviación típica se mantiene pero la probabilidad de obtener más de 90 puntos es $\mathrm{0,05}$. Decida si la media de calificaciones ha aumentado, ha disminuido o se ha mantenido. [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$ son: $F(x)=P(Z\le x)$, $F(0)=\mathrm{0,5}$, $F(\mathrm{0,5})=\mathrm{0,6915}$, $F(\mathrm{0,95})=\mathrm{0,8289}$, $F(\mathrm{1,5})=\mathrm{0,9332}$, $F(\mathrm{1,645})=\mathrm{0,95}$, $F(\mathrm{1,8})=\mathrm{0,9641}$.

Llamamos $X$ a la puntuación obtenida por un candidato.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(70;10)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">75</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">85</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para poder usar la tabla hay que tipificar los dos extremos del intervalo, es decir, restar la media y dividir por la desviación típica.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-70}{10}}\sim N(0,1)$

$P(75\le X\le 85)=P({\displaystyle \frac{75-70}{10}}\le Z\le {\displaystyle \frac{85-70}{10}})=P(\mathrm{0,5}\le Z\le \mathrm{1,5})$

La probabilidad de una franja es la diferencia de las dos áreas acumuladas:

$P(\mathrm{0,5}\le Z\le \mathrm{1,5})=F(\mathrm{1,5})-F(\mathrm{0,5})$

$=\mathrm{0,9332}-\mathrm{0,6915}=\mathrm{0,2417}$



La probabilidad de que la calificación esté entre 75 y 85 puntos es $\mathrm{0,2417}$, es decir, un $\mathrm{24,17}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Tras}}\mathbf{\text{resolver}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{reclamaciones}}\mathbf{\text{realizadas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{candidatos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{observa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mantiene}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">0,05</mn>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Decida}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{calificaciones}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{aumentado,}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{disminuido}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{mantenido.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el dato conocido es la probabilidad y la incógnita es la media, así que se recorre el camino inverso: se busca en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda el área complementaria.

$P(X>90)=\mathrm{0,05}\Rightarrow P(X\le 90)=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}$

$F(z)=\mathrm{0,95}\Rightarrow z=\mathrm{1,645}$



Escribimos la tipificación de 90 dejando la media como incógnita y despejamos:

$z={\displaystyle \frac{90-\mu }{10}}=\mathrm{1,645}$

$90-\mu =\mathrm{16,45}\Rightarrow \mu =90-\mathrm{16,45}=\mathrm{73,55}$

La nueva media es de 73,55 puntos frente a los 70 de partida, de modo que la media de calificaciones ha aumentado.