Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

En un espacio muestral se tienen dos sucesos: $A$ y $B$. Se conocen las siguientes probabilidades: $P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$, $P(A\mathrm{/}B)=P(B\mathrm{/}A)$ y $P(\bar{A})=\mathrm{0,2}$, siendo $\bar{A}$ el suceso contrario de $A$. Calcule:

a) $P(B\mathrm{/}A)$. [1 punto]

b) $P(B)$. [1 punto]

c) ¿Son los sucesos independientes? [0,5 puntos]

Partimos de los datos del enunciado. La probabilidad de $A$ se obtiene del suceso contrario.

$P(A\cap B)=\mathrm{0,3},P(A)=1-P(\bar{A})=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$



Aplicamos directamente la definición de probabilidad condicionada, cuyos dos ingredientes ya conocemos.

$P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$

$P(B\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,8}}}={\displaystyle \frac{3}{8}}=\mathrm{0,375}$

La probabilidad de $B$ condicionada a $A$ vale $\mathrm{0,375}$.



Escribimos también la otra condicionada con su definición y usamos la igualdad que da el enunciado.

$P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{P(B)}}$

$P(A\mathrm{/}B)=P(B\mathrm{/}A)\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{P(B)}}=\mathrm{0,375}$

$P(B)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,375}}}=\mathrm{0,8}$

Conviene observar que el resultado no depende de los números concretos: al ser el numerador el mismo en las dos condicionadas, igualarlas equivale a igualar los denominadores, es decir, $P(A)=P(B)$.

La probabilidad de $B$ vale $\mathrm{0,8}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{independientes?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades. Basta comparar los dos números.

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,64}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,3}\mathrm{\ne }\mathrm{0,64}=P(A)\cdot P(B)$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.

Conviene advertir, por último, que los datos del enunciado no describen una asignación de probabilidades posible: con $P(A)=P(B)=\mathrm{0,8}$ y $P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$ resultaría

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,8}+\mathrm{0,8}-\mathrm{0,3}=\mathrm{1,3}>1$

lo cual es imposible. El desarrollo anterior es el que pide el ejercicio y el que se sigue de las relaciones dadas, pero el enunciado es incoherente.