Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

En un curso de un instituto hay tres clases: la clase A con 50 alumnos, la clase B con 30 y la clase C con 20. Cada clase tiene un profesor distinto de matemáticas. Con el profesor de la clase A aprueban el 40 % de los alumnos, con el de la clase B el 50 % y con el de la clase C el 75 % de los alumnos. Se coge al azar un alumno del curso. Calcule:

a) La probabilidad de que el alumno haya aprobado matemáticas. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea de la clase B. [1,25 puntos]

Nombramos los sucesos:

$A$, $B$, $C\equiv$ el alumno elegido es de esa clase

$S\equiv$ el alumno ha aprobado matemáticas

El curso tiene $50+30+20=100$ alumnos, así que las probabilidades de la primera etapa salen de esos recuentos.

$P(A)={\displaystyle \frac{50}{100}}=\mathrm{0,50},P(B)={\displaystyle \frac{30}{100}}=\mathrm{0,30},P(C)={\displaystyle \frac{20}{100}}=\mathrm{0,20}$

$P(S\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,40},P(S\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,50},P(S\mathrm{\mid }C)=\mathrm{0,75}$

El árbol del problema es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{aprobado}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las tres clases forman un sistema completo de sucesos, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando los tres caminos que terminan en $S$.

$P(S)=P(A)P(S\mathrm{\mid }A)+P(B)P(S\mathrm{\mid }B)+P(C)P(S\mathrm{\mid }C)$

$P(S)=\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{0,40}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,50}+\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,75}$

$P(S)=\mathrm{0,20}+\mathrm{0,15}+\mathrm{0,15}=\mathrm{0,50}$

La probabilidad de que el alumno elegido haya aprobado matemáticas es $\mathrm{0,50}$, es decir, un $50\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{aprobado,}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se conoce el resultado y se pregunta por la clase, así que es una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes.

$P(B\mathrm{\mid }S)={\displaystyle \frac{P(B)\cdot P(S\mathrm{\mid }B)}{P(S)}}$

$P(B\mathrm{\mid }S)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,50}}{\mathrm{0,50}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,50}}}$

$P(B\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,30}$

Sabiendo que el alumno ha aprobado, la probabilidad de que sea de la clase B es $\mathrm{0,30}$, exactamente la misma que tenía antes de conocer el resultado: la clase B aprueba justo en la media del curso, de modo que ese dato no aporta información sobre su procedencia.