Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

Lucía, Gloria y María se reparten los ejercicios que la profesora de matemáticas asigna a su grupo. Lucía resuelve el 45 %, Gloria el 30 % y María el resto. Además, se sabe que Lucía resuelve correctamente el 90 % de los ejercicios que realiza, Gloria el 95 % y María el 80 %.

a) Describir los sucesos y todas las probabilidades que se mencionan utilizando una notación adecuada. [0,5 puntos]

Si la profesora escoge un ejercicio al azar:

b) Calcular la probabilidad de que el ejercicio esté resuelto correctamente. [1 punto]

c) Sabiendo que el ejercicio es incorrecto, calcular la probabilidad de que lo haya resuelto Gloria. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Describir}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{probabilidades}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mencionan}}\mathbf{\text{utilizando}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{notaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{adecuada.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Nombramos los sucesos:

$L\equiv$ el ejercicio lo ha resuelto Lucía; $G\equiv$ lo ha resuelto Gloria; $M\equiv$ lo ha resuelto María; $C\equiv$ el ejercicio está resuelto correctamente.

Los tres primeros forman un sistema completo de sucesos, y la parte de María se obtiene por diferencia:

$P(L)=\mathrm{0,45}P(G)=\mathrm{0,30}P(M)=1-\mathrm{0,45}-\mathrm{0,30}=\mathrm{0,25}$

Los aciertos están referidos a los ejercicios que hace cada una, de modo que son probabilidades condicionadas:

$P(C\mathrm{\mid }L)=\mathrm{0,90}P(C\mathrm{\mid }G)=\mathrm{0,95}P(C\mathrm{\mid }M)=\mathrm{0,80}$

y de ellas se deducen las de los sucesos contrarios, $P(\bar{C}\mathrm{\mid }L)=\mathrm{0,10}$, $P(\bar{C}\mathrm{\mid }G)=\mathrm{0,05}$ y $P(\bar{C}\mathrm{\mid }M)=\mathrm{0,20}$, que completan el árbol del experimento.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ejercicio}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{resuelto}}\mathbf{\text{correctamente.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como $L$, $G$ y $M$ son incompatibles dos a dos y cubren todos los casos, aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(C)=P(L)P(C\mathrm{\mid }L)+P(G)P(C\mathrm{\mid }G)+P(M)P(C\mathrm{\mid }M)$

$P(C)=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,90}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,95}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,80}$

$P(C)=\mathrm{0,405}+\mathrm{0,285}+\mathrm{0,200}=\mathrm{0,89}$

La probabilidad de que un ejercicio elegido al azar esté bien resuelto es $\mathrm{0,89}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ejercicio}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{incorrecto,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{resuelto}}\mathbf{\text{Gloria.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La condición está ahora al final del experimento, así que se trata de una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes. Empezamos por la probabilidad del suceso contrario del apartado anterior:

$P(\bar{C})=1-P(C)=1-\mathrm{0,89}=\mathrm{0,11}$

$P(G\mathrm{\mid }\bar{C})={\displaystyle \frac{P(G\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}}={\displaystyle \frac{P(G)P(\bar{C}\mathrm{\mid }G)}{P(\bar{C})}}$

$P(G\mathrm{\mid }\bar{C})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,05}}{\mathrm{0,11}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,015}}{\mathrm{0,11}}}={\displaystyle \frac{3}{22}}\approx \mathrm{0,136}$

Sabiendo que un ejercicio está mal resuelto, la probabilidad de que lo haya hecho Gloria es ${\displaystyle \frac{3}{22}}\approx \mathrm{0,136}$, la menor de las tres pese a que Gloria resuelve casi un tercio de los ejercicios: es la que menos se equivoca.