Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Entre los automóviles que se fabrican de una cierta marca, un 50 % son convencionales (es decir, con motor de gasolina o de gasoil), un 30 % híbridos y un 20 % eléctricos. De ellos, un 70 % de los convencionales, un 80 % de los híbridos y un 85 % de los eléctricos tienen potencia $<140$ CV y el resto la tienen $\ge 140$ CV. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que un coche de esa marca elegido al azar sea convencional con potencia $\ge 140$ CV. Lo mismo para híbrido o eléctrico con potencia $\ge 140$ CV. [1 punto]

b) Si se sabe que el coche elegido tiene al menos 140 CV, ¿cuál es la probabilidad de que sea de tipo convencional? [1 punto]

Nombramos los sucesos $V\equiv$ el coche es convencional, $H\equiv$ es híbrido, $E\equiv$ es eléctrico y $G\equiv$ tiene potencia mayor o igual que $140$ CV.

Los tres tipos forman un sistema completo de sucesos y los porcentajes de potencia están referidos a cada tipo, de modo que son probabilidades condicionadas. Como el enunciado da la proporción de los que tienen menos de $140$ CV, pasamos a los sucesos contrarios:

$P(V)=\mathrm{0,5}P(H)=\mathrm{0,3}P(E)=\mathrm{0,2}$

$P(G\mathrm{\mid }V)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}P(G\mathrm{\mid }H)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}P(G\mathrm{\mid }E)=1-\mathrm{0,85}=\mathrm{0,15}$





Cada una de las tres probabilidades es la de una intersección, y se obtiene multiplicando a lo largo de la rama correspondiente del árbol.

$P(V\cap G)=P(V)P(G\mathrm{\mid }V)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,15}$

$P(H\cap G)=P(H)P(G\mathrm{\mid }H)=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,06}$

$P(E\cap G)=P(E)P(G\mathrm{\mid }E)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,15}=\mathrm{0,03}$

De cada cien coches de la marca, quince son convencionales de al menos $140$ CV, seis híbridos y tres eléctricos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coche}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{140}}\mathbf{\text{CV,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{convencional?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La condición es ahora la potencia y la pregunta, el tipo: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes. El denominador es la probabilidad total, que ya está prácticamente hecha con el apartado anterior.

$P(G)=P(V\cap G)+P(H\cap G)+P(E\cap G)=\mathrm{0,15}+\mathrm{0,06}+\mathrm{0,03}=\mathrm{0,24}$

$P(V\mathrm{\mid }G)={\displaystyle \frac{P(V\cap G)}{P(G)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,24}}}={\displaystyle \frac{5}{8}}=\mathrm{0,625}$

Sabiendo que el coche tiene al menos $140$ CV, la probabilidad de que sea convencional es ${\displaystyle \frac{5}{8}}=\mathrm{0,625}$.