Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Se tienen tres cajas. En la caja A hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. En la caja B, 6 dados negros y 2 dados rojos, y en la caja C, 2 dados negros y 4 dados rojos. El suceso consiste en sacar una bola y un dado. En primer lugar se extrae al azar una bola de la caja A. Si es negra, se extrae al azar un dado de la caja B pero, si la bola es roja, se extrae al azar un dado de la caja C. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos sin relación entre ellos:

a) La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos. [0,75 puntos]

b) La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color. [0,75 puntos]

c) La probabilidad de que el dado sea rojo. [1 punto]

Nombramos los sucesos según el color de la bola y el del dado:

$N\equiv$ la bola extraída de la caja A es negra

$R\equiv$ la bola extraída de la caja A es roja

$n\equiv$ el dado extraído es negro; $j\equiv$ el dado extraído es rojo

La primera etapa es la extracción de la bola en la caja A, que tiene 4 negras y 6 rojas.

$P(N)={\displaystyle \frac{4}{10}}=\mathrm{0,4},P(R)={\displaystyle \frac{6}{10}}=\mathrm{0,6}$

Si la bola es negra se va a la caja B (6 dados negros y 2 rojos); si es roja, a la caja C (2 negros y 4 rojos).

$P(n\mathrm{\mid }N)={\displaystyle \frac{6}{8}},P(j\mathrm{\mid }N)={\displaystyle \frac{2}{8}};P(n\mathrm{\mid }R)={\displaystyle \frac{2}{6}},P(j\mathrm{\mid }R)={\displaystyle \frac{4}{6}}$

El árbol del problema es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{rojos.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se piden las dos cosas a la vez, así que es la probabilidad de una intersección: un único camino del árbol.

$P(R\cap j)=P(R)\cdot P(j\mathrm{\mid }R)={\displaystyle \frac{6}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{4}{10}}=\mathrm{0,4}$

La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos es $\mathrm{0,4}$, es decir, un $40\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{color.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que sean del mismo color se cumple de dos formas incompatibles: los dos negros o los dos rojos. Sumamos los dos caminos correspondientes.

$P(\text{mismo color})=P(N\cap n)+P(R\cap j)$

$={\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{8}}+{\displaystyle \frac{6}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{7}{10}}=\mathrm{0,7}$

La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color es $\mathrm{0,7}$, es decir, un $70\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{rojo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora no importa el color de la bola, de modo que los sucesos $N$ y $R$ forman un sistema completo y aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(j)=P(N)\cdot P(j\mathrm{\mid }N)+P(R)\cdot P(j\mathrm{\mid }R)$

$P(j)={\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{8}}+{\displaystyle \frac{6}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}$

$P(j)={\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{5}{10}}=\mathrm{0,5}$

La probabilidad de que el dado sea rojo es $\mathrm{0,5}$, es decir, un $50\mathrm{\%}$.