Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2021

En una nave industrial se quiere instalar una pantalla de cine, como muestra la figura. La forma de la nave es la descrita por la gráfica de la función $f(x)=12-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}\ge 0$. Calcule los valores positivos $(x,y)$ que hacen máxima el área de la pantalla. [2,5 puntos]

La pantalla es el rectángulo inscrito bajo la parábola, con la base sobre el suelo y el vértice superior derecho en el punto $(x,y)$ de la curva. Como la parábola es simétrica respecto del eje de ordenadas, ese vértice determina el rectángulo entero.

$\text{base}=2x,\text{altura}=y=f(x)=12-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}$

El área queda entonces en función de una sola variable:

$A(x)=2x(12-{\displaystyle \frac{x^2}{3}})=24x-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}$

El dominio lo fija la condición de que la altura sea positiva, que el propio enunciado impone:

$12-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}\ge 0\Rightarrow x^2\le 36\Rightarrow 0<x<6$

Buscamos los extremos relativos igualando la derivada a cero.

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=24-2x^2$

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2x^2=24\Rightarrow x^2=12\Rightarrow x=\pm 2\sqrt{3}$

Se descarta la solución negativa porque el enunciado pide valores positivos y $x$ es media base.

Comprobamos que se trata de un máximo con la segunda derivada.

$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4x$

$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(2\sqrt{3}\right)=-8\sqrt{3}<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

Al ser el único extremo del intervalo, ese máximo relativo es el absoluto. Calculamos la altura correspondiente:

$y=12-{\displaystyle \frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}{3}}=12-{\displaystyle \frac{12}{3}}=12-4=8$

$A=2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 8=32\sqrt{3}\approx \mathrm{55,43}$

Los valores pedidos son $x=2\sqrt{3}\approx \mathrm{3,46}$ e $y=8$: la pantalla mide $4\sqrt{3}$ de ancho por 8 de alto, y su área máxima es de $32\sqrt{3}\approx \mathrm{55,43}$ unidades de área.