Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

La vela de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa mide 8 m, calcule las dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima. [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{vela}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{barco}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{hipotenusa}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{m,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vela}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llaman $x$ e $y$ a los dos catetos, en metros. La superficie de un triángulo rectángulo es el semiproducto de los catetos, porque uno hace de base y el otro de altura:

$S={\displaystyle \frac{xy}{2}}$



La relación entre las dos variables la da el teorema de Pitágoras, ya que la hipotenusa es un dato:

$x^2+y^2=64\Rightarrow y=\sqrt{64-x^2},0<x<8$

$S(x)={\displaystyle \frac{x\sqrt{64-x^2}}{2}}$

Conviene maximizar el cuadrado de la superficie en vez de la superficie: como $S>0$ y la función cuadrado es creciente en los positivos, las dos alcanzan el máximo en el mismo punto, y así se evita derivar la raíz.

$S^2(x)={\displaystyle \frac{x^2(64-x^2)}{4}}={\displaystyle \frac{64x^2-x^4}{4}}$

${\left(S^2\right)}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{128x-4x^3}{4}}={\displaystyle \frac{4x(32-x^2)}{4}}=x(32-x^2)$

${\left(S^2\right)}^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2=32\Rightarrow x=4\sqrt{2}$

Se descarta la solución nula y la negativa por tratarse de una longitud. Se comprueba que es un máximo estudiando el signo de la derivada:

${\left(S^2\right)}^{\mathrm{\prime }}(1)=31>0;{\left(S^2\right)}^{\mathrm{\prime }}(7)=7(32-49)<0$

La función pasa de crecer a decrecer, luego en $x=4\sqrt{2}$ hay un máximo.

$y=\sqrt{64-32}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

$S={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{32}{2}}=16$

La superficie de la vela es máxima cuando los dos catetos miden $4\sqrt{2}\approx \mathrm{5,66}$ metros, es decir, cuando el triángulo es isósceles; la superficie vale entonces 16 metros cuadrados.