Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Para guardar el material escolar, se quiere construir una caja (sin tapa) a partir de una plancha de cartón de 48 cm de largo por 30 cm de ancho, a la que se le ha recortado un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas (véase el dibujo).



a) [0,75 puntos] Determine el volumen de la caja.

b) [1 punto] Determine las dimensiones de la caja si se quiere que contenga el mayor volumen posible.

c) [0,75 puntos] Para poder transportar la caja cómodamente, se van a realizar dos aberturas. El área de cada una de ellas está encerrada por las curvas $f(t)=t^2-4t$ y $g(t)=2t-5$. Calcule el área de una de las aberturas.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja.}}$

Al recortar un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblar las cuatro pestañas, la caja queda con altura $x$ y con una base rectangular en la que cada dimensión de la plancha ha perdido dos veces ese lado.

$\text{largo}=48-2x,\text{ancho}=30-2x,\text{altura}=x$

$V(x)=x(48-2x)(30-2x)=4x^3-156x^2+1440x$

Para que las tres dimensiones sean positivas ha de ser $0<x<15$, que es el dominio del problema.

El volumen de la caja, en ${\text{cm}}^3$, es $V(x)=4x^3-156x^2+1440x$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{posible.}}$

Buscamos el máximo de $V$ en el intervalo $(0,15)$, así que derivamos e igualamos a cero.

$V^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-312x+1440=12(x^2-26x+120)=12(x-6)(x-20)$

$V^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=6\text{ o }x=20$

La solución $x=20$ se descarta por quedar fuera del dominio: no se puede recortar un cuadrado de $20$ cm de lado en una plancha de $30$ cm de ancho. Comprobamos con la segunda derivada que $x=6$ es máximo.

$V^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=24x-312\Rightarrow V^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(6)=144-312=-168<0$

$V(6)=6\cdot 36\cdot 18=3888$

La caja de mayor volumen se obtiene recortando cuadrados de $6$ cm de lado: mide $36\times 18\times 6$ cm y su volumen es $3888{\text{cm}}^3$.



Primero localizamos los puntos de corte de la parábola y la recta, que son los límites de integración.

$t^2-4t=2t-5\Rightarrow t^2-6t+5=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{36-20}}{2}}={\displaystyle \frac{6\pm 4}{2}}$

$t=1,t=5$

Entre esos dos valores la recta va por encima de la parábola: en $t=3$ se tiene $g(3)=1$ y $f(3)=-3$. El área es, por tanto, la integral de la diferencia $g-f$.



$A={\displaystyle {\int }_1^5[(2t-5)-(t^2-4t)]dt={\int }_1^5(-t^2+6t-5)dt}$

$A={[-{\displaystyle \frac{t^3}{3}}+3t^2-5t]}_1^5=(-{\displaystyle \frac{125}{3}}+75-25)-(-{\displaystyle \frac{1}{3}}+3-5)$

$A={\displaystyle \frac{25}{3}}-(-{\displaystyle \frac{7}{3}})={\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}$

Cada abertura tiene un área de ${\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}$ unidades cuadradas.