Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2020

Problema 6.

Los vértices de un triángulo son $A(0,12)$, $B(-5,0)$ y $C(5,0)$. Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo anterior, de lados paralelos a los ejes coordenados y dos de cuyos vértices tienen coordenadas $(-x,0)$, $(x,0)$, siendo $0\le x\le 5$. Los otros dos vértices están situados en los segmentos $AB$ y $AC$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La expresión $f(x)$ del área del rectángulo anterior. (4 puntos)
b) El valor de $x$ para el cual dicha área es máxima y las dimensiones del rectángulo obtenido. (3 puntos)
c) La proporción entre el área del rectángulo anterior y el área del triángulo. (3 puntos)

Representación del triángulo










El triángulo ($ABC$), por construcción, es isósceles de lado desigual ($BC$).

Comprobamos las longitudes:

$d(A,B)=\sqrt{(-5-0{)}^2+(0-12{)}^2}=13$

$d(A,C)=\sqrt{(5-0{)}^2+(0-12{)}^2}=13$

Luego el triángulo es isósceles.

Del rectángulo inscrito:

Sabemos que la base del rectángulo mide ($2x$). Calculamos su altura obteniendo primero la recta que pasa por ($A$) y ($C$).

$\overrightarrow{AC}=(5,-12)$

Ecuación de la recta ($r_{AC}$): $\frac{x-5}{5}=\frac{y-0}{-12}\Rightarrow y=\frac{-12(x-5)}{5}$

Por tanto, las coordenadas de ($D$) son: $D(x,\frac{-12(x-5)}{5})$



Área del rectángulo inscrito

La base es ($2x$) y la altura es: $\frac{-12(x-5)}{5}$

Luego, $A_R=2x\cdot \frac{-12(x-5)}{5}=\frac{-24x(x-5)}{5}$

Por construcción, ($x\in [0,5]$).

Definimos: $f(x)=\frac{-24x(x-5)}{5},x\in [0,5]$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{dicha}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{obtenido.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Siendo la función: $f(x)=\frac{-24x^2+120x}{5}$

Derivamos: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-48x+120}{5}$

Buscamos extremos: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -48x+120=0\Rightarrow x=\frac{120}{48}=\frac{5}{2}$

Estudio de signo:$\{\begin{array}{l}En(x=1):(f^{\mathrm{\prime }}(1)>0)\\ En(x=3):(f^{\mathrm{\prime }}(3)<0)\end{array}$

Luego en ($x=\frac{5}{2}$) hay un máximo absoluto.

Valor máximo:$f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{-24\cdot \frac{5}{2}(\frac{5}{2}-5)}{5}=30$

Dimensiones del rectángulo máximo: