Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2020

Problema 6.

En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 10 centímetros cada uno. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La expresión del área $A(x)$ del triángulo, en función de la longitud $x$ del tercer lado. (4 puntos)
b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $A(x)$, $0\le x\le 20$. (4 puntos)
c) La longitud $x$ del tercer lado para que el área del triángulo sea máxima y el valor de esta área. (2 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{6.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{sceles,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{lados}}\mathbf{\text{iguales}}\mathbf{\text{miden}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">10</mn>}\mathbf{\text{cent}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno.}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{escribiendo}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{pasos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{razonamiento}}\mathbf{\text{utilizado:}}$

El triángulo isósceles del problema es:




$ima/hodeia_images/mateii ord 21 cv preg6.pngimg$

El área de este triángulo será: $A={\displaystyle \frac{x\cdot h}{2}}$

Obtenemos el valor de h en función de $x$, teniendo en cuenta que en un triángulo isósceles la altura sobre el lado desigual divide a este en dos partes iguales y forma con la base un ángulo recto.

Es decir: ${10}^2=h^2+{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^{2}100=h^2+{\displaystyle \frac{x^2}{4}}{h}^2=100-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}={\displaystyle \frac{400-x^2}{4}}$

$h=\sqrt{{\displaystyle \frac{400-x^2}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{400-x^2}}{2}}$

$A={\displaystyle \frac{x\sqrt{400-x^2}}{2\cdot 2}}={\displaystyle \frac{x\sqrt{400-x^2}}{4}}$

Por construcción el valor de $x$ puede variar entre $0$ y $20$ (para $x=0$ o $x=20$ no habría triángulo).

Por tanto,$A(x)={\displaystyle \frac{x\sqrt{400-x^2}}{4}},x\in (0,20)$


Monotonía de $A(x)$.

$A(x)={\displaystyle \frac{x\sqrt{400-x^2}}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(x\sqrt{400-x^2}\right)$ $A^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}[\sqrt{400-x^2}+x\cdot {\displaystyle \frac{-2x}{2\sqrt{400-x^2}}}]$

$={\displaystyle \frac{1}{4}}[\sqrt{400-x^2}-{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{400-x^2}}}]={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{400-x^2-x^2}{\sqrt{400-x^2}}}$

$={\displaystyle \frac{400-2x^2}{4\sqrt{400-x^2}}}={\displaystyle \frac{200-x^2}{2\sqrt{400-x^2}}}$

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{200-x^2}{2\sqrt{400-x^2}}}=0\Rightarrow 200-x^2=0;\Rightarrow x^2=200\Rightarrow x=\pm \sqrt{200}=\pm 10\sqrt{2}\approx \pm 14.14$

Como el dominio de $A(x)$ es el intervalo (0,20), estudiaremos el signo de $A^{\mathrm{\prime }}(x)$ en los intervalos:
* En $(0,\sqrt{200})$ tomamos $x=10$ y la derivada vale

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{200-{10}^2}{2\sqrt{400-{10}^2}}=\frac{100}{2\sqrt{300}}>0.$ La función crece en $(0,\sqrt{200})$.

* En $(\sqrt{200},20)$ tomamos $x=15$ y la derivada vale

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{200-{15}^2}{2\sqrt{400-{15}^2}}=\frac{-25}{2\sqrt{175}}<0.$ La función decrece en $(\sqrt{200},20)$.









Finalmente, A(x) es creciente en $(0,10\sqrt{2})$ y decreciente en $(10\sqrt{2},20)$.





$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathit{x}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{lado}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Del estudio de la monotonía de, $A(x)$ deducimos que para $x=10\sqrt{2}$ hay un máximo relativo. Y este máximo relativo es el absoluto porque la función a su izquierda es creciente y a su derecha decreciente.

Para $x=10\sqrt{2}$,

$A(x)={\displaystyle \frac{10\sqrt{2}\sqrt{400-(10\sqrt{2}{)}^2}}{4}}=50$

Finalmente, el área del triángulo es máxima cuando el lado desigual del triángulo isósceles mide $10\sqrt{2}\text{ cm}$ y el valor de esta área es de $50{\text{cm}}^2$.