Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

Problema 6.

Una ventana rectangular está coronada por un semicírculo tal y como se indica en la siguiente figura.



Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 20 metros:

a) Calcular el área de la ventana en función de su anchura $x$. (3 puntos)
b) Calcular las dimensiones que ha de tener la ventana para que permita la máxima entrada de luz. (5 puntos)
c) Calcular el valor de dicha área máxima. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ventana}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{anchura}}\mathit{x}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$



Área = Área rectángulo + 1/2 Área circunferencia.

$A(x,y)=x\cdot y+\frac{1}{2}\pi {\left(\frac{x}{2}\right)}^2$

$A(x,y)=x\cdot y+\frac{\pi x^2}{8}$

Perímetro = $20$ m

$x+2y+\frac{1}{2}\pi \cdot x=20$

$2y=20-x-\frac{\pi x}{2}$

$y=10-\frac{x}{2}(1+\frac{\pi }{2})$

$\Rightarrow ;y=10-\frac{x}{4}(2+\pi )\text{con}0<x<\frac{40}{2+\pi }$

$A(x)=x[10-\frac{x}{4}(2+\pi )]+\frac{\pi x^2}{8}=10x-\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x^2}{4}+\frac{\pi x^2}{8}$

$=10x-\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x^2}{8}=10x-x^2(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8})0<x<\frac{40}{2+\pi }$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ventana}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{entrada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$A(x)=10x-x^2(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8})0<x<\frac{40}{2+\pi }$

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=10-2x(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8})=10-2x\left(\frac{4+\pi }{4}\right)=10-x\frac{4+\pi }{2}$

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 10-x\frac{4+\pi }{2}=0\Rightarrow x=\frac{40}{4+\pi }\approx 5^{\mathrm{\prime }}6\text{ m}$

El área es máxima cuando las dimensiones de la ventana son:

$x=\frac{40}{4+\pi }\approx 5^{\mathrm{\prime }}6\text{ m}$

$y=10-\frac{10}{4+\pi }(2+\pi )=\frac{20}{4+\pi }\approx 2^{\mathrm{\prime }}8\text{ m}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$










El área máxima:

$A\left(\frac{40}{4+\pi }\right)=10\cdot \frac{40}{4+\pi }-{\left(\frac{40}{4+\pi }\right)}^2(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8})=\frac{200}{\pi +4}\approx 28{\text{m}}^2$