Matemáticas II · Optimización · Comunidad Valenciana · 2022

Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2022

Problema 6.

Considerar la función

f (x) = e^{- x^{2}}

para los valores positivos de

x

. Por cada punto

M = (x, f (x))

de la gráfica de

f

se trazan dos rectas paralelas a los ejes de coordenadas,

O X

O Y

. Estas dos rectas, junto con los ejes de coordenadas, definen un rectángulo.

a) Determinar el área del rectángulo en función de

x

. (3 puntos)
b) Encontrar el punto

M

que proporciona mayor área y calcular esta área. (7 puntos)

Solución

Problema 6. Considerar la funci \overset{ˊ}{o} n f (x) = e^{- x^{2}} para los valores positivos de x . Por cada punto M = (x, f (x)) de la gr \overset{ˊ}{a} fica de f se trazan dos rectas paralelas a los ejes de coordenadas, O X y O Y . Estas dos rectas, junto con los ejes de coordenadas, definen un rect \overset{ˊ}{a} ngulo.

Gráficamente el problema es:

$x$	$f (x) = e^{- x^{2}}$ 0	1
1	0'367

a) Determinar el \overset{ˊ}{a} rea del rect \overset{ˊ}{a} ngulo en funci \overset{ˊ}{o} n de x . (3 puntos)

El rectángulo definido tiene de base

x

y de altura

f (x) = e^{- x^{2}}

.

Su área es:

A_{R} (x) = x \cdot e^{- x^{2}}, x > 0

b) Encontrar el punto M que proporciona mayor \overset{ˊ}{a} rea y calcular esta \overset{ˊ}{a} rea. (7 puntos)

Para calcular los puntos críticos, derivamos la función y la igualamos la derivada a 0:

A_{R} (x) = x . e^{- x^{2}}

A_{R}^{'} (x) = e^{- x^{2}} + x e^{- x^{2}} (- 2 x) = e^{- x^{2}} (1 - 2 x^{2})

A_{R}^{'} (x) = 0

\Rightarrow

{\begin{cases} e^{- x^{2}} = 0 & sin soluci \overset{ˊ}{o} n \\ 1 - 2 x^{2} = 0 \end{cases}

\Rightarrow 1 - 2 x^{2} = 0

\Rightarrow 2 x^{2} = 1

\Rightarrow x^{2} = \frac{1}{2}

\Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow

Como

x > 0

, solución:

x = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071

Debemos estudiar el signo de

A_{R}^{'} (x)

en los intervalos:

#x27; in math mode at position 14: \begin{cases}$̲ltxx=0.5 \Right…" style="color:#cc0000">\begin{cases}$ltxx=0.5 \Rightarrow e^{-0.5^2}(1-2\cdot0.5^2)\approx0.38>0\\ $ltxx=1 \Rightarrow e^{-1}(1-2\cdot1^2)\approx-0.367<0\end{cases}

El máximo relativo se alcanza en

x = \frac{\sqrt{2}}{2}

que es el absoluto porque a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente.

Calculemos el punto

M

x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} = e^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} \Rightarrow M (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})

Y el área máxima:

x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow A_{R} (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{e}} \approx 0.4289 u.a.

Solución: el punto

M

que proporciona mayor área es

(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})

y esta área mide,

\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{e}} u.a.

Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2022

Solución

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