Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

Dada una hoja de papel de dimensiones $20\text{ cm}\times 30\text{ cm}$, calcule el lado del cuadrado a recortar en cada esquina de forma que la caja resultante de subir las solapas que quedan sea de volumen máximo.

Llamamos $x$ al lado del cuadrado que se recorta en cada esquina. Al subir las cuatro solapas queda una caja sin tapa cuya base es un rectángulo de lados $30-2x$ y $20-2x$ y cuya altura es $x$.



La función a maximizar es, por tanto,

$V(x)=x(30-2x)(20-2x)=4x^3-100x^2+600x$

Como los tres factores han de ser positivos, el dominio del problema es $0<x<10$.

Buscamos los puntos críticos de $V$:

$V^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-200x+600=4(3x^2-50x+150)$

$3x^2-50x+150=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{50\pm \sqrt{2500-1800}}{6}}={\displaystyle \frac{50\pm 10\sqrt{7}}{6}}={\displaystyle \frac{25\pm 5\sqrt{7}}{3}}$

Se descarta la solución $x={\displaystyle \frac{25+5\sqrt{7}}{3}}\approx \mathrm{12,74}$ por no pertenecer al intervalo $(0,10)$, ya que con ese recorte los lados de la base serían negativos.

Comprobamos con la derivada segunda que el valor restante es un máximo:

$V^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=24x-200$

$V^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{25-5\sqrt{7}}{3}}\right)=8(25-5\sqrt{7})-200=-40\sqrt{7}\approx -\mathrm{105,83}<0$

Luego en $x={\displaystyle \frac{25-5\sqrt{7}}{3}}$ hay un máximo relativo, y por ser el único extremo del intervalo $(0,10)$ es también el máximo absoluto.

El volumen que se alcanza es:

$V\left({\displaystyle \frac{25-5\sqrt{7}}{3}}\right)={\displaystyle \frac{10000+7000\sqrt{7}}{27}}\approx \mathrm{1056,31}{\text{cm}}^3$

Hay que recortar en cada esquina un cuadrado de lado ${\displaystyle \frac{25-5\sqrt{7}}{3}}\approx \mathrm{3,92}\text{ cm}$; con él la caja alcanza su volumen máximo, de unos $\mathrm{1056,31}{\text{cm}}^3$.