Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^3+1}{x^2}}$.

a) Estudie y calcule su dominio de definición y sus asíntotas. [1,25 puntos]

b) Halle, si existen, máximos y mínimos relativos y calcule sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. [0,75 puntos]

c) Haga un esbozo de su gráfica. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Conviene separar la fracción antes de empezar, porque así todo el estudio resulta más cómodo.

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^3+1}{x^2}}=2x+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

Dominio. La función es racional y su denominador solo se anula en el origen.

$x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow \mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{0\}$

Asíntotas verticales. El numerador vale 1 en $x=0$, luego no se cancela con el denominador.

${\lim }_{x\to 0}(2x+{\displaystyle \frac{1}{x^2}})=0+{\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

$x=0\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

El límite es $+\mathrm{\infty }$ por los dos lados, porque $x^2$ es positivo se acerque $x$ a cero por donde se acerque.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera al del denominador, así que no hay ninguna.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=+\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=-\mathrm{\infty }$

Asíntota oblicua $y=mx+n$. La diferencia de grados es exactamente uno, de modo que sí la hay.

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(2+{\displaystyle \frac{1}{x^3}})=2$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(f(x)-2x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=0$

$y=2x\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota oblicua}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen,}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Derivamos la expresión separada, escribiéndola antes como $f(x)=2x+x^{-2}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2-2x^{-3}=2-{\displaystyle \frac{2}{x^3}}={\displaystyle \frac{2(x^3-1)}{x^3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^3-1=0\Rightarrow x=1$

Estudiamos el signo de la derivada en los tres intervalos que determinan el punto crítico y el que queda fuera del dominio.

$x<0:x^3-1<0\text{ y }{x}^3<0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ crece}$

$0<x<1:x^3-1<0\text{ y }{x}^3>0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{ decrece}$

$x>1:x^3-1>0\text{ y }{x}^3>0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ crece}$

La función pasa de decreciente a creciente en $x=1$, luego ahí hay un mínimo relativo. Lo confirmamos con la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x^{-4}={\displaystyle \frac{6}{x^4}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6>0$

$f(1)=2+1=3$

La función tiene un único extremo, un mínimo relativo en $(1,3)$; crece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y decrece en $(0,1)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Haga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esbozo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Añadimos el corte con el eje de abscisas, que se obtiene anulando el numerador.

$2x^3+1=0\Rightarrow x^3=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}}}\approx -\mathrm{0,79}$

No hay corte con el eje de ordenadas porque el origen no pertenece al dominio. Además, como $\frac{1}{x^2}>0$, la curva queda siempre por encima de su asíntota oblicua.