Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

Considere la función presentada a continuación,

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+ax+1}{x+a^2}}$

donde $a\in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Calcule los valores de $a$ para los que $f(x)$ tiene como asíntota oblicua a la recta $y=x-6$. [1 punto]

b) Considere $a=-2$, estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

c) Considere $a=-2$, halle la expresión de la recta tangente a $f(x)$ en $x=-1$. [0,5 puntos]

En una función racional en la que el grado del numerador supera en una unidad al del denominador, la asíntota oblicua es el cociente de la división entera. Dividimos, pues, y comparamos el cociente con la recta que da el enunciado.

${\displaystyle \frac{x^2+ax+1}{x+a^2}}=x+(a-a^2)+{\displaystyle \frac{a^4-a^3+1}{x+a^2}}$

$y=x+(a-a^2)\text{ ha de ser }y=x-6\Rightarrow a-a^2=-6$

$a^2-a-6=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 5}{2}}\Rightarrow a=3,a=-2$

Falta comprobar que el resto no se anula, porque si lo hiciera la función sería la propia recta y no tendría asíntota.

$a=3\Rightarrow a^4-a^3+1=81-27+1=55\mathrm{\ne }0$

$a=-2\Rightarrow a^4-a^3+1=16+8+1=25\mathrm{\ne }0$

Los valores del parámetro son $a=3$ y $a=-2$; con cualquiera de los dos la recta $y=x-6$ es asíntota oblicua de $f$.



Sustituimos el parámetro y observamos que el numerador es un cuadrado perfecto, lo que simplifica la derivada.

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x+4}}={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x+4}},\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{-4\}$

Derivamos por la regla del cociente y sacamos factor común $(x-1)$ en el numerador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x-1)(x+4)-(x-1{)}^2}{(x+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{(x-1)[2(x+4)-(x-1)]}{(x+4{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x-1)(x+9)}{(x+4{)}^2}}$

$(x-1)(x+9)=0\Rightarrow x=1,x=-9$

El denominador es un cuadrado y por tanto positivo en todo el dominio, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el de la parábola del numerador. Al estudio hay que añadir $x=-4$, que no anula la derivada pero parte el dominio.



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-9)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y decrece en $(-9,-4)$ y en $(-4,1)$. Hay un máximo relativo en $x=-9$ y un mínimo relativo en $x=1$; en $x=-4$ no hay extremo, porque el punto no pertenece al dominio.



La recta tangente pasa por el punto de la curva y tiene por pendiente la derivada en él, así que evaluamos las dos expresiones del apartado anterior en $x=-1$.

$f(-1)={\displaystyle \frac{(-1-1{)}^2}{-1+4}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{(-1-1)(-1+9)}{(-1+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{(-2)\cdot 8}{9}}=-{\displaystyle \frac{16}{9}}$

$y-{\displaystyle \frac{4}{3}}=-{\displaystyle \frac{16}{9}}(x+1)$

$y=-{\displaystyle \frac{16}{9}}x-{\displaystyle \frac{16}{9}}+{\displaystyle \frac{12}{9}}=-{\displaystyle \frac{16}{9}}x-{\displaystyle \frac{4}{9}}$

La recta tangente a la curva en $x=-1$ es $y=-{\displaystyle \frac{16}{9}}x-{\displaystyle \frac{4}{9}}$. La pendiente sale negativa, como corresponde a un punto del tramo decreciente $(-4,1)$.